Упр.1106 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите угол между лучом $$OA$$ и положительной полуосью $$Ox$$, если точка $$A$$ имеет координаты: а) $$(2; 2)$$; б) $$(0; 3)$$; в) $$(-\sqrt{3}; 1)$$; г) $$(-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$$.
2. Автомобиль прошёл $$989\ \text{м}$$. Найдите диаметр колеса автомобиля, если известно, что оно сделало $$500$$ оборотов.

Пусть $$\alpha$$ — угол между лучом $$OA$$ и положительной полуосью $$Ox$$. Тогда для точки $$A(x;y)$$ имеем:

$$OA=\sqrt{x^2+y^2}, \qquad \cos \alpha=\frac{x}{OA}, \qquad \sin \alpha=\frac{y}{OA}.$$

а) $$A(2;2)$$

$$OA=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$$

Тогда

$$\cos \alpha=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin \alpha=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Следовательно, $$\alpha=45^\circ.$$

б) $$A(0;3)$$

$$OA=\sqrt{0^2+3^2}=3.$$

Тогда

$$\cos \alpha=\frac{0}{3}=0, \qquad \sin \alpha=\frac{3}{3}=1.$$

Следовательно, $$\alpha=90^\circ.$$

в) $$A(-\sqrt{3};1)$$

$$OA=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2.$$

Тогда

$$\cos \alpha=\frac{-\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin \alpha=\frac{1}{2}.$$

Следовательно, $$\alpha=150^\circ.$$

г) $$A(-2\sqrt{2};2\sqrt{2})$$

$$OA=\sqrt{(-2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+8}=\sqrt{16}=4.$$

Тогда

$$\cos \alpha=\frac{-2\sqrt{2}}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin \alpha=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Следовательно, $$\alpha=135^\circ.$$

Ответ: а) $$45^\circ$$; б) $$90^\circ$$; в) $$150^\circ$$; г) $$135^\circ$$.