Упр.1105 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Угол между лучом $$OA$$, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью $$Ox$$ равен $$a$$. Найдите координаты точки $$A$$, если:
а) $$OA=3$$, $$a=45^\circ$$;
б) $$OA=1{,}5$$, $$a=90^\circ$$;
в) $$OA=5$$, $$a=150^\circ$$;
г) $$OA=1$$, $$a=180^\circ$$;
д) $$OA=2$$, $$a=30^\circ$$. - Найдите длину окружности, вписанной:
а) в квадрат со стороной $$a$$;
б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $$c$$;
в) в прямоугольный треугольник с гипотенузой $$c$$ и острым углом $$a$$;
г) в равнобедренный треугольник с углом при основании $$a$$ и высотой $$h$$, проведённой к основанию.
Пусть $$r$$ — радиус вписанной окружности. Тогда длина этой окружности равна
$$C=2\pi r.$$
а) Квадрат со стороной $$a$$
У вписанной окружности диаметр равен стороне квадрата, значит
$$2r=a,\qquad r=\frac{a}{2}.$$
Тогда
$$C=2\pi\cdot \frac{a}{2}=\pi a.$$
б) Равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $$c$$
Пусть катеты равны $$x$$. Тогда
$$c^2=x^2+x^2=2x^2,\qquad x=\frac{c}{\sqrt2}.$$
Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности равен
$$r=\frac{a+b-c}{2}.$$
Здесь $$a=b=\frac{c}{\sqrt2}$$, поэтому
$$r=\frac{\frac{c}{\sqrt2}+\frac{c}{\sqrt2}-c}{2} =\frac{c(\sqrt2-1)}{2}.$$
Следовательно,
$$C=2\pi r=\pi c(\sqrt2-1).$$
в) Прямоугольный треугольник с гипотенузой $$c$$ и острым углом $$\alpha$$
Пусть катеты равны $$a$$ и $$b$$. Тогда
$$a=c\cos\alpha,\qquad b=c\sin\alpha.$$
По формуле для радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника
$$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{c(\cos\alpha+\sin\alpha-1)}{2}.$$
Значит,
$$C=2\pi r=\pi c(\cos\alpha+\sin\alpha-1).$$
г) Равнобедренный треугольник с углом при основании $$\alpha$$ и высотой $$h$$, проведённой к основанию
Пусть $$O$$ — центр вписанной окружности, $$H$$ — точка касания с основанием. Тогда $$OH=r$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$:
$$\tan\alpha=\frac{BH}{AH},\qquad AH=\frac{BH}{\tan\alpha}=\frac{h}{\tan\alpha}.$$
Так как в равнобедренном треугольнике высота является биссектрисой, то
$$\angle OAH=\frac{\alpha}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$AOH$$ имеем
$$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{OH}{AH},\qquad OH=AH\cdot \tan\frac{\alpha}{2}.$$
Следовательно,
$$r=\frac{h}{\tan\alpha}\cdot \tan\frac{\alpha}{2}.$$
Тогда длина окружности равна
$$C=2\pi r=\frac{2\pi h\tan\frac{\alpha}{2}}{\tan\alpha}.$$
Ответ
а) $$\pi a$$; б) $$\pi c(\sqrt2-1)$$; в) $$\pi c(\cos\alpha+\sin\alpha-1)$$; г) $$\dfrac{2\pi h\tan\frac{\alpha}{2}}{\tan\alpha}$$.
