Упр.1104 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Постройте угол $$A$$, если:
а) $$\sin A = \frac{2}{3}$$;
б) $$\cos A = \frac{3}{4}$$;
в) $$\cos A = -\frac{2}{5}$$.
Найдите длину окружности, описанной около:
а) правильного треугольника со стороной $$a$$;
б) прямоугольного треугольника с катетами $$a$$ и $$b$$;
в) равнобедренного треугольника с основанием $$a$$ и боковой стороной $$b$$;
г) прямоугольника с меньшей стороной $$a$$ и острым углом $$\alpha$$ между диагоналями;
д) правильного шестиугольника, площадь которого равна $$24\sqrt{3}\ \text{см}^2$$.
а) Для правильного треугольника $$ABC$$ со стороной $$a$$ его описанная окружность имеет радиус
$$a=2R\sin 60^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\,R,$$
откуда
$$R=\frac{a}{\sqrt3}.$$
Тогда длина окружности
$$C=2\pi R=2\pi\cdot \frac{a}{\sqrt3}=\frac{2\pi a\sqrt3}{3}.$$
б) Для прямоугольного треугольника с катетами $$a$$ и $$b$$ гипотенуза равна
$$c=\sqrt{a^2+b^2}.$$
В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:
$$R=\frac{c}{2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$
Следовательно,
$$C=2\pi R=2\pi\cdot \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}=\pi\sqrt{a^2+b^2}.$$
в) Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник, где $$AC=a$$, $$AB=BC=b$$. Опустим высоту $$BH$$ на основание $$AC$$. Тогда $$AH=\frac a2$$, и в прямоугольном треугольнике $$BHC$$
$$BH=\sqrt{BC^2-HC^2}=\sqrt{b^2-\left(\frac a2\right)^2}=\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2}.$$
Площадь треугольника можно выразить двумя способами:
$$S=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot a\cdot \frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2}=\frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{4},$$
$$S=\frac{abc}{4R}=\frac{a\cdot b\cdot b}{4R}=\frac{ab^2}{4R}.$$
Приравнивая, получаем
$$\frac{ab^2}{4R}=\frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{4},$$
откуда
$$R=\frac{b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}.$$
Тогда
$$C=2\pi R=\frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}.$$
г) Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник, $$AB=a$$, а острый угол между диагоналями равен $$\alpha$$. Обозначим через $$O$$ центр описанной окружности. Тогда $$O$$ — середина диагоналей, а радиус окружности равен половине диагонали.
Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Он равнобедренный, а прямая, проходящая через $$O$$ и середину стороны $$AB$$, является и высотой, и медианой, и биссектрисой. Поэтому
$$\angle BOH=\frac{\alpha}{2}, \qquad BH=\frac a2.$$
В прямоугольном треугольнике $$BOH$$
$$\sin \frac{\alpha}{2}=\frac{BH}{BO}=\frac{a/2}{R},$$
откуда
$$R=\frac{a}{2\sin \frac{\alpha}{2}}.$$
Следовательно,
$$C=2\pi R=2\pi\cdot \frac{a}{2\sin \frac{\alpha}{2}}=\frac{\pi a}{\sin \frac{\alpha}{2}}.$$
д) Для правильного шестиугольника площадь выражается через радиус описанной окружности $$R$$ так:
$$S=6\cdot \frac12 R^2\sin 60^\circ=6\cdot \frac12 R^2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2}R^2.$$
По условию
$$\frac{3\sqrt3}{2}R^2=24\sqrt3,$$
откуда
$$R^2=16,\qquad R=4\text{ см}.$$
Тогда длина окружности
$$C=2\pi R=2\pi\cdot 4=8\pi\text{ см}.$$
Ответ: а) $$\frac{2\pi a\sqrt3}{3}$$; б) $$\pi\sqrt{a^2+b^2}$$; в) $$\frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}$$; г) $$\frac{\pi a}{\sin \frac{\alpha}{2}}$$; д) $$8\pi\text{ см}$$.
