Упр.1099 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Проверьте, что точки $$M_1(0;1)$$, $$M_2\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$, $$M_3\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$, $$M_4\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{1}{2}\right)$$, $$B(-1;0)$$ лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов $$AOM_1$$, $$AOM_2$$, $$AOM_3$$, $$AOM_4$$, $$AOB$$.
Правильный восьмиугольник $$A_1A_2\ldots A_8$$ вписан в окружность радиуса $$R$$. Докажите, что четырёхугольник $$A_3A_4A_7A_8$$ является прямоугольником, и выразите его площадь через $$R$$.

Подробный ответ

Рассмотрим правильный восьмиугольник $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$$, вписанный в окружность радиуса $$R$$ с центром $$O$$.

Так как все центральные углы равны, то

$$\angle A_1OA_2=\angle A_2OA_3=\dots=\angle A_8OA_1=\frac{360^\circ}{8}=45^\circ.$$

Тогда дуга от $$A_7$$ до $$A_3$$ через точки $$A_8, A_1, A_2$$ равна

$$\overset{\frown}{A_7A_3}=4\cdot 45^\circ=180^\circ,$$

значит, $$A_7A_3$$ — диаметр окружности. Аналогично дуга от $$A_8$$ до $$A_4$$ через точки $$A_1, A_2, A_3$$ тоже равна $$180^\circ$$, поэтому $$A_8A_4$$ — диаметр.

Следовательно, в четырёхугольнике $$A_3A_4A_7A_8$$ диагонали $$A_3A_7$$ и $$A_4A_8$$ являются диаметрами окружности, а значит, равны и пересекаются в точке $$O$$. Кроме того, противоположные стороны этого четырёхугольника параллельны, поэтому $$A_3A_4A_7A_8$$ — прямоугольник.

Найдём его площадь. Стороны $$A_3A_4$$ и $$A_4A_7$$ являются хордами, стягивающими центральный угол $$45^\circ$$ и $$135^\circ$$ соответственно, но удобнее использовать диагонали прямоугольника:

$$A_3A_7=A_4A_8=2R.$$

Угол между диагональю $$A_8A_4$$ и стороной $$A_8A_7$$ равен половине центрального угла между соответствующими радиусами, то есть

$$\angle A_8OA_7=45^\circ.$$

Тогда площадь прямоугольника равна

$$S=\frac12\cdot A_3A_7\cdot A_4A_8\cdot \sin 45^\circ =\frac12\cdot 2R\cdot 2R\cdot \frac{\sqrt2}{2} =R^2\sqrt2.$$