Упр.1099 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Проверьте, что точки M1 (0;1), М2 (1/2;корень3/2) M3 (корень2/2;корень2/2), M4 (корень2/2;1/2), В(-1;0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов AOM1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ. Правильный восьмиугольник A1A2…A8 вписан в окружность радиуса R. Докажите, что четырёхугольник А3А4А7А8 является прямоугольником, и выразите его площадь через R

1) Проверим, что все точки лежат на единичной окружности с центром в начале координат:

$$ 0^2+1^2=1 \Rightarrow M_1(0;1)\in \text{Окр}(O;1) $$
$$ \left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac14+\frac34=1 \Rightarrow M_2\in \text{Окр}(O;1) $$
$$ \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac12+\frac12=1 \Rightarrow M_3\in \text{Окр}(O;1) $$
$$ \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac12\right)^2=\frac34+\frac14=1 \Rightarrow M_4\in \text{Окр}(O;1) $$
$$ 1^2+0^2=1 \Rightarrow A(1;0)\in \text{Окр}(O;1) $$
$$ (-1)^2+0^2=1 \Rightarrow B(-1;0)\in \text{Окр}(O;1) $$

Следовательно, все указанные точки лежат на единичной окружности.

2) Найдём значения тригонометрических функций углов $$\angle AOM_1,\ \angle AOM_2,\ \angle AOM_3,\ \angle AOM_4,\ \angle AOB$$.

Для точки на единичной окружности с координатами $$(x;y)$$ имеем:
$$\cos \angle AOM = x,\qquad \sin \angle AOM = y,\qquad \tg \angle AOM = \frac{y}{x}$$
(если $$x\neq 0$$).

$$ \sin \angle AOM_1=1,\quad \cos \angle AOM_1=0,\quad \tg \angle AOM_1 \text{ не существует} $$
$$ \sin \angle AOM_2=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos \angle AOM_2=\frac12,\quad \tg \angle AOM_2=\sqrt3 $$
$$ \sin \angle AOM_3=\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos \angle AOM_3=\frac{\sqrt2}{2},\quad \tg \angle AOM_3=1 $$
$$ \sin \angle AOM_4=\frac12,\quad \cos \angle AOM_4=-\frac{\sqrt3}{2},\quad \tg \angle AOM_4=-\frac{\sqrt3}{3} $$
$$ \sin \angle AOB=0,\quad \cos \angle AOB=-1,\quad \tg \angle AOB=0 $$

3) Пусть $$A_1A_2\dots A_8$$ — правильный восьмиугольник, вписанный в окружность радиуса $$R$$.

Так как центральный угол правильного восьмиугольника равен

$$ \angle A_1OA_2=\frac{360^\circ}{8}=45^\circ, $$
то дуги между соседними вершинами равны $$45^\circ$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$A_3A_4A_7A_8$$. Диагонали $$A_3A_7$$ и $$A_4A_8$$ проходят через центр окружности, значит это диаметры:

$$ A_3A_7=A_4A_8=2R. $$

Кроме того, хорды $$A_3A_4$$ и $$A_7A_8$$ равны, так как соответствуют равным дугам. Следовательно, противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, а его диагонали равны и пересекаются в середине. Значит, $$A_3A_4A_7A_8$$ — прямоугольник.

Найдём его площадь. Диагонали прямоугольника равны $$2R$$, а угол между ними равен $$45^\circ$$, поэтому

$$ S=\frac12 \cdot A_3A_7 \cdot A_4A_8 \cdot \sin 45^\circ =\frac12 \cdot 2R \cdot 2R \cdot \frac{\sqrt2}{2} =R^2\sqrt2. $$

Ответ

$$ \sin \angle AOM_1=1,\ \cos \angle AOM_1=0,\ \tg \angle AOM_1 \text{ не существует}; $$
$$ \sin \angle AOM_2=\frac{\sqrt3}{2},\ \cos \angle AOM_2=\frac12,\ \tg \angle AOM_2=\sqrt3; $$
$$ \sin \angle AOM_3=\frac{\sqrt2}{2},\ \cos \angle AOM_3=\frac{\sqrt2}{2},\ \tg \angle AOM_3=1; $$
$$ \sin \angle AOM_4=\frac12,\ \cos \angle AOM_4=-\frac{\sqrt3}{2},\ \tg \angle AOM_4=-\frac{\sqrt3}{3}; $$
$$ \sin \angle AOB=0,\ \cos \angle AOB=-1,\ \tg \angle AOB=0. $$
$$ A_3A_4A_7A_8 \text{ — прямоугольник},\qquad S=R^2\sqrt2. $$