Упр.1098 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Ответьте на вопросы:

   а) Может ли абсцисса точки единичной полуокружности иметь значения $$0{,}3$$; $$\frac{1}{3}$$; $$-\frac{1}{3}$$; $$\frac{5}{3}$$; $$-2{,}8$$?

   б) Может ли ордината точки единичной полуокружности иметь значения $$0{,}6$$; $$у$$; $$-0{,}3$$; $$7$$; $$1{,}002$$?

   Ответы обоснуйте.

2. Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности.

Для правильного треугольника радиус вписанной окружности $$r$$ и радиус описанной окружности $$R$$ связаны формулой

$$r=R\cos 60^\circ=\frac{R}{2}, \qquad R=2r.$$

Пусть сторона правильного треугольника равна $$a$$, периметр — $$P$$, площадь — $$S$$.

а) Через радиус вписанной окружности $$r$$

Так как $$R=2r$$, то

$$a=2R\sin 60^\circ=2\cdot 2r\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\,r.$$

Тогда

$$P=3a=3\cdot 2\sqrt{3}\,r=6\sqrt{3}\,r,$$

$$S=\frac12 Pr=\frac12\cdot 6\sqrt{3}\,r\cdot r=3\sqrt{3}\,r^2.$$

б) Через радиус описанной окружности $$R$$

Имеем

$$a=2R\sin 60^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\,R.$$

Следовательно,

$$P=3a=3\sqrt{3}\,R,$$

$$S=\frac12 Pr=\frac12\cdot 3\sqrt{3}\,R\cdot \frac{R}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2.$$

Ответ: а) $$a=2\sqrt{3}\,r,\; P=6\sqrt{3}\,r,\; S=3\sqrt{3}\,r^2$$; б) $$a=\sqrt{3}\,R,\; P=3\sqrt{3}\,R,\; S=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$$.