Упр.1097 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны две точки \(A\) и \(B\). Найдите множество всех точек \(M\), для каждой из которых:
а) $$2AM^2-BM^2=2AB^2$$;
б) $$2AM^2+2BM^2=6AB^2$$. - Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё.
Пусть $$r$$ — радиус окружности.
Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, его сторона равна радиусу:
$$a_1=r.$$
Тогда площадь такого шестиугольника равна сумме площадей 6 равносторонних треугольников со стороной $$r$$:
$$S_{\text{вп}}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}r^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2.$$
Для правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус окружности является его апофемой. Пусть сторона этого шестиугольника равна $$a_2$$. Тогда
$$r=a_2\cos 30^\circ=a_2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2},$$
откуда
$$a_2=\frac{2r}{\sqrt{3}}.$$
Площадь описанного шестиугольника:
$$S_{\text{оп}}=\frac{1}{2}Pr=\frac{1}{2}\cdot 6a_2\cdot r=3a_2r=3\cdot \frac{2r}{\sqrt{3}}\cdot r=2\sqrt{3}\,r^2.$$
Теперь найдём отношение площадей:
$$S_{\text{вп}}:S_{\text{оп}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2:2\sqrt{3}r^2=3:4.$$
Ответ: $$3:4$$.
