Упр.1096 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что медиану $$AA_1$$ треугольника $$ABC$$ можно вычислить по формуле $$AA_1=\frac{1}{2}\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}$$. Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
2. Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.

Пусть сторона правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равна $$a$$.

Площадь правильного многоугольника можно найти по формуле

$$S=\frac12Pr,$$

где $$P$$ — периметр, $$r$$ — радиус вписанной окружности.

Для правильного $$n$$-угольника со стороной $$a$$ имеем

$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{n},$$

где $$R$$ — радиус описанной окружности.

Тогда:

1. для правильного треугольника $$n=3$$, поэтому
   $$a=2R\sin60^\circ=R\sqrt3,$$
   $$R=\frac{a}{\sqrt3},$$
   $$r=R\cos60^\circ=\frac{a}{\sqrt3}\cdot\frac12=\frac{a\sqrt3}{6};$$
   $$S_3=\frac12\cdot 3a\cdot \frac{a\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{4}a^2;$$
2. для квадрата $$n=4$$, поэтому
   $$a=2R\sin45^\circ=R\sqrt2,$$
   $$R=\frac{a}{\sqrt2},$$
   $$r=R\cos45^\circ=\frac{a}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{a}{2};$$
   $$S_4=\frac12\cdot 4a\cdot \frac{a}{2}=a^2;$$
3. для правильного шестиугольника $$n=6$$, поэтому
   $$a=2R\sin30^\circ=R,$$
   $$R=a,$$
   $$r=R\cos30^\circ=a\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{2};$$
   $$S_6=\frac12\cdot 6a\cdot \frac{a\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2}a^2.$$

Следовательно,

$$S_3:S_4:S_6=\frac{\sqrt3}{4}a^2:a^2:\frac{3\sqrt3}{2}a^2.$$

Умножим все части на $$4$$:

$$S_3:S_4:S_6=\sqrt3:4:6\sqrt3.$$

Ответ: $$\sqrt3:4:6\sqrt3$$.