Упр.1094 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований. Найдите площадь S правильного га-угольника, если: а) n = 4, R = 3корень2 см; б) n= 3, Р = 24 см; в) n = 6,r=9см; г) n = 8, г = 5корень3 см.

Обозначим середины диагоналей трапеции $$AC$$ и $$BD$$ точками $$M$$ и $$N$$ соответственно. Тогда векторно

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}.$$

Так как $$M$$ — середина $$AC$$, а $$N$$ — середина $$BD$$, то

$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\vec 0,\qquad \overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN}=\vec 0.$$

Сложим равенства для векторов, соответствующих путям через диагонали:

$$2\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN}).$$

Отсюда

$$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}.$$

В трапеции $$AD \parallel BC$$, поэтому векторы $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ направлены противоположно, значит

$$\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}.$$

Следовательно,

$$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC},$$

то есть

$$\overrightarrow{MN}=\frac12\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}\right).$$

Так как $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ коллинеарны, то

$$MN=\frac12(AD-BC).$$

Что и требовалось доказать.

Найдём площадь правильного $$n$$-угольника по формулам

$$S=\frac12Pr,$$

где $$P$$ — периметр, $$r$$ — радиус вписанной окружности.

а) $$n=4,\ R=3\sqrt2\text{ см}.$$

Для квадрата

$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{4}=2\cdot 3\sqrt2\cdot \sin45^\circ=6\text{ см}.$$

Тогда

$$P=4a=24\text{ см},$$

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{4}=3\sqrt2\cdot \cos45^\circ=3\text{ см}.$$

Следовательно,

$$S=\frac12\cdot 24\cdot 3=36\text{ см}^2.$$

б) $$n=3,\ P=24\text{ см}.$$

У правильного треугольника

$$a=\frac{P}{3}=\frac{24}{3}=8\text{ см}.$$

Площадь правильного треугольника:

$$S=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{8^2\sqrt3}{4}=16\sqrt3\text{ см}^2.$$

в) $$n=6,\ r=9\text{ см}.$$

Для правильного шестиугольника

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{6}=R\cos30^\circ,$$

откуда

$$9=R\cdot \frac{\sqrt3}{2},\qquad R=\frac{18}{\sqrt3}=6\sqrt3\text{ см}.$$

Сторона шестиугольника

$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{6}=2\cdot 6\sqrt3\cdot \sin30^\circ=6\sqrt3\text{ см}.$$

Тогда

$$P=6a=36\sqrt3\text{ см},$$

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 36\sqrt3\cdot 9=162\sqrt3\text{ см}^2.$$

г) $$n=8,\ r=5\sqrt3\text{ см}.$$

Для правильного восьмиугольника

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{8}=R\cos22^\circ30′,$$

а сторона

$$a=2R\sin22^\circ30′ = 2r\tan22^\circ30′.$$

Тогда периметр

$$P=8a=16r\tan22^\circ30′.$$

Используем формулу площади:

$$S=\frac12Pr=8r^2\tan22^\circ30′.$$

Подставим $$r=5\sqrt3$$ и $$\tan22^\circ30’\approx 0{,}4142$$:

$$S=8\cdot (5\sqrt3)^2\cdot 0{,}4142=8\cdot 75\cdot 0{,}4142\approx 248{,}52\text{ см}^2.$$

Ответ

$$MN=\frac12(AD-BC);$$

а) $$36\text{ см}^2$$; б) $$16\sqrt3\text{ см}^2$$; в) $$162\sqrt3\text{ см}^2$$; г) $$248{,}52\text{ см}^2$$.