Упр.1094 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
2. Найдите площадь $$S$$ правильного $$n$$-угольника, если:
   а) $$n=4$$, $$R=3\sqrt{2}\text{ см}$$;
   б) $$n=3$$, $$P=24\text{ см}$$;
   в) $$n=6$$, $$r=9\text{ см}$$;
   г) $$n=8$$, $$r=5\sqrt{3}\text{ см}$$.

а) Для квадрата $$n=4$$, поэтому его сторона

$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{4}=2\cdot 3\sqrt2\cdot \sin45^\circ=2\cdot 3\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=6\text{ см}.$$

Тогда периметр

$$P=4a=4\cdot 6=24\text{ см}.$$

Апофема правильного четырёхугольника равна

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{4}=3\sqrt2\cdot \cos45^\circ=3\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=3\text{ см}.$$

Площадь:

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 24\cdot 3=36\text{ см}^2.$$

б) Для правильного треугольника $$n=3$$, значит

$$P=3a \Rightarrow a=\frac{P}{3}=\frac{24}{3}=8\text{ см}.$$

Из формулы для стороны правильного треугольника:

$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{3}=2R\sin60^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3,$$

откуда

$$R=\frac{8}{\sqrt3}\text{ см}.$$

Апофема:

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{3}=\frac{8}{\sqrt3}\cdot \cos60^\circ=\frac{8}{\sqrt3}\cdot \frac12=\frac{4}{\sqrt3}\text{ см}.$$

Тогда

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 24\cdot \frac{4}{\sqrt3}=\frac{48}{\sqrt3}=16\sqrt3\text{ см}^2.$$

в) Для правильного шестиугольника $$n=6$$ и $$r=9\text{ см}$$.

Связь апофемы и радиуса описанной окружности:

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{6}=R\cos30^\circ,$$

значит

$$9=R\cdot \frac{\sqrt3}{2},\qquad R=\frac{18}{\sqrt3}=6\sqrt3\text{ см}.$$

Сторона правильного шестиугольника:

$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{6}=2\cdot 6\sqrt3\cdot \sin30^\circ=2\cdot 6\sqrt3\cdot \frac12=6\sqrt3\text{ см}.$$

Периметр:

$$P=6a=6\cdot 6\sqrt3=36\sqrt3\text{ см}.$$

Площадь:

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 36\sqrt3\cdot 9=162\sqrt3\text{ см}^2.$$

г) Для правильного восьмиугольника $$n=8$$ и $$r=5\sqrt3\text{ см}$$.

Найдём радиус описанной окружности:

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{8}=R\cos22^\circ30′,$$

откуда

$$R=\frac{5\sqrt3}{\cos22^\circ30′}.$$

Сторона правильного восьмиугольника:

$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{8}=2R\sin22^\circ30′ = 2r\tan22^\circ30′.$$

Тогда периметр

$$P=8a=16r\tan22^\circ30′.$$

Площадь правильного многоугольника:

$$S=\frac12Pr=8r^2\tan22^\circ30′.$$

Подставим $$r=5\sqrt3$$:

$$S=8\cdot (5\sqrt3)^2\cdot \tan22^\circ30′ = 8\cdot 75\cdot \tan22^\circ30′.$$

Так как $$\tan22^\circ30’=\sqrt2-1\approx 0{,}4142,$$ получаем

$$S\approx 600\cdot 0{,}4142\approx 248{,}52\text{ см}^2.$$

Ответ: а) $$36\text{ см}^2$$; б) $$16\sqrt3\text{ см}^2$$; в) $$162\sqrt3\text{ см}^2$$; г) $$248{,}52\text{ см}^2$$.