Упр.1093 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота, проведённая к большей из них, равна 15 см. Найдите медианы треугольника.
- Около правильного треугольника описана окружность радиуса $$R$$. Докажите, что $$R = 2r$$, где $$r$$ — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Пусть стороны треугольника равны $$17\text{ см}$$ и $$28\text{ см}$$, а высота к большей стороне равна $$15\text{ см}$$. Обозначим треугольник $$ABC$$ так, что $$AC=28\text{ см}$$, $$AB=17\text{ см}$$, $$BH=15\text{ см}$$, где $$H$$ — основание высоты на сторону $$AC$$.
Введём координаты:
$$A(0;0),\quad C(28;0),\quad B(x;15),\quad H(x;0).$$
Так как $$AB=17$$, то
$$AB^2=x^2+15^2,$$
$$17^2=x^2+225,$$
$$x^2=289-225=64,$$
$$x=8.$$
Значит, $$B(8;15)$$.
Найдём середины сторон:
$$A_1$$ — середина $$BC$$, $$B_1$$ — середина $$CA$$, $$C_1$$ — середина $$AB$$.
Тогда
$$A_1\left(\frac{8+28}{2};\frac{15+0}{2}\right)=(18;7{,}5),$$
$$B_1\left(\frac{28+0}{2};\frac{0+0}{2}\right)=(14;0),$$
$$C_1\left(\frac{0+8}{2};\frac{0+15}{2}\right)=(4;7{,}5).$$
Теперь найдём длины медиан:
$$AA_1=\sqrt{(18-0)^2+(7{,}5-0)^2}=\sqrt{324+56{,}25}=\sqrt{380{,}25}=19{,}5\text{ см},$$
$$BB_1=\sqrt{(14-8)^2+(0-15)^2}=\sqrt{36+225}=\sqrt{261}=3\sqrt{29}\text{ см},$$
$$CC_1=\sqrt{(4-28)^2+(7{,}5-0)^2}=\sqrt{576+56{,}25}=\sqrt{632{,}25}=\frac{3}{2}\sqrt{281}\text{ см}.$$
Ответ: $$AA_1=19{,}5\text{ см},\; BB_1=3\sqrt{29}\text{ см},\; CC_1=\frac{3}{2}\sqrt{281}\text{ см}.$$
