Упр.1092 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой, если:
а) $$A(-2; 0)$$, $$B\left(3; \frac{3}{2}\right)$$, $$C(6; 4)$$;
б) $$A(3; 10)$$, $$B(3; 12)$$, $$C(3; -6)$$;
в) $$A(1; 2)$$, $$B(2; 5)$$, $$C(-10; -31)$$.
Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен $$48\text{ см}$$.

Подробный ответ

Пусть сторона правильного шестиугольника равна $$a$$. Тогда его периметр

$$6a=48,$$

откуда

$$a=8\text{ см}.$$

Рассмотрим треугольник $$QOF$$, где $$O$$ — центр окружности, а $$Q$$ и $$F$$ — точки касания окружности со сторонами шестиугольника. У правильного шестиугольника центральный угол равен

$$\angle QOF=\frac{360^\circ}{6}=60^\circ.$$

Так как $$OQ=OF$$ как радиусы, а угол между ними равен $$60^\circ$$, то треугольник $$QOF$$ равносторонний. Значит,

$$QF=OQ=OF=a=8\text{ см}.$$

Тогда половина стороны квадрата равна

$$\frac{1}{2}QF=4\text{ см}.$$

Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $$OQ$$ получаем радиус окружности:

$$R=\sqrt{OQ^2-\left(\frac{1}{2}QF\right)^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\text{ см}.$$

Сторона квадрата равна диаметру окружности:

$$AB=2R=8\sqrt{3}\text{ см}.$$

Тогда периметр квадрата

$$P_{ABCD}=4\cdot 8\sqrt{3}=32\sqrt{3}\text{ см}.$$

Ответ: $$32\sqrt{3}\text{ см}.$$