Упр.1090 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Вершины треугольника $$ABC$$ имеют координаты $$A(-7; 5)$$, $$B(3; -1)$$, $$C(5; 3)$$. Составьте уравнения: а) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; б) прямых $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$; в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника.
2. Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна $$3\text{ см}$$. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль?

Для прямой, проходящей через две точки $$P(x_1;y_1)$$ и $$Q(x_2;y_2),$$ удобно использовать уравнение в виде $$ax+by+c=0.$$

а) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Найдём середины сторон:

$$M\left(\frac{-7+3}{2};\frac{5+(-1)}{2}\right)=(-2;2),$$
$$N\left(\frac{3+5}{2};\frac{-1+3}{2}\right)=(4;1),$$
$$K\left(\frac{-7+5}{2};\frac{5+3}{2}\right)=(-1;4).$$

Уравнения сторон:

$$AB:\;3x+5y-4=0,$$
$$BC:\;2x-y-7=0,$$
$$CA:\;x+6y-23=0.$$

Серединный перпендикуляр к стороне перпендикулярен этой стороне и проходит через её середину.

Для $$AB$$ получаем:
$$l_1:\;5x-3y+16=0.$$

Для $$BC$$:
$$l_2:\;6x-y+10=0.$$

Для $$CA$$:
$$l_3:\;3x+5y-17=0.$$

б) Прямые $$AB,$$ $$BC$$ и $$CA$$

$$AB:\;3x+5y-4=0,$$
$$BC:\;2x-y-7=0,$$
$$CA:\;x+6y-23=0.$$

в) Прямые, на которых лежат средние линии треугольника

Средняя линия параллельна соответствующей стороне и проходит через середины двух других сторон.

1) Средняя линия, параллельная $$AB,$$ проходит через точки $$N(4;1)$$ и $$K(-1;4)$$:
$$MN:\;3x+5y-17=0.$$

2) Средняя линия, параллельная $$BC,$$ проходит через точки $$M(-2;2)$$ и $$K(-1;4)$$:
$$MK:\;2x-y+6=0.$$

3) Средняя линия, параллельная $$CA,$$ проходит через точки $$M(-2;2)$$ и $$N(4;1)$$:
$$MN:\;x+6y-10=0.$$