Упр.1089 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки: а) А (1;-4), В (4; 5), С (3; -2); б) А (3;-7), В (8;-2), С (6; 2). Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

Решение

а) Пусть искомая окружность имеет центр $$O(x;y)$$. Тогда точки $$A(1;-4)$$, $$B(4;5)$$ и $$C(3;-2)$$ равноудалены от центра, то есть

$$AO^2=BO^2,\qquad BO^2=CO^2.$$

Составим уравнения:

$$ (1-x)^2+(-4-y)^2=(4-x)^2+(5-y)^2, $$

откуда

$$ 6x+18y-24=0,\qquad x+3y-4=0. $$

Далее

$$ (4-x)^2+(5-y)^2=(3-x)^2+(-2-y)^2, $$

откуда

$$ x+7y-14=0. $$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} x+3y-4=0,\\ x+7y-14=0. \end{cases} $$

Вычитая первое уравнение из второго, получаем

$$ 4y=10,\qquad y=\frac{5}{2}. $$

Тогда

$$ x=4-3\cdot \frac{5}{2}=-\frac{7}{2}. $$

Значит, центр окружности $$O\left(-\frac{7}{2};\frac{5}{2}\right)$$.

Найдём радиус:

$$ R^2=OA^2=\left(1+\frac{7}{2}\right)^2+\left(-4-\frac{5}{2}\right)^2 =\left(\frac{9}{2}\right)^2+\left(-\frac{13}{2}\right)^2 =\frac{81+169}{4}=\frac{250}{4}=\frac{125}{2}. $$

Следовательно, уравнение окружности:

$$ \left(x+\frac{7}{2}\right)^2+\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{125}{2}. $$

б) Аналогично для точек $$A(3;-7)$$, $$B(8;-2)$$, $$C(6;2)$$ пусть центр окружности $$O(x;y)$$. Тогда

$$ AO^2=BO^2,\qquad BO^2=CO^2. $$

Из равенства $$AO^2=BO^2$$ получаем

$$ (3-x)^2+(-7-y)^2=(8-x)^2+(-2-y)^2, $$

откуда

$$ x+y-1=0. $$

Из равенства $$BO^2=CO^2$$ получаем

$$ (8-x)^2+(-2-y)^2=(6-x)^2+(2-y)^2, $$

откуда

$$ x-2y-7=0. $$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} x+y-1=0,\\ x-2y-7=0. \end{cases} $$

Вычитая первое уравнение из второго, имеем

$$ -3y=8,\qquad y=-\frac{8}{3}. $$

Тогда

$$ x=1-y=1+\frac{8}{3}=\frac{11}{3}. $$

Значит, центр окружности $$O\left(\frac{11}{3};-\frac{8}{3}\right)$$.

Найдём радиус:

$$ R^2=OA^2=\left(3-\frac{11}{3}\right)^2+\left(-7+\frac{8}{3}\right)^2 =\left(-\frac{2}{3}\right)^2+\left(-\frac{13}{3}\right)^2 =\frac{4+169}{9}=\frac{173}{9}. $$

Следовательно, уравнение окружности:

$$ \left(x-\frac{11}{3}\right)^2+\left(y+\frac{8}{3}\right)^2=\frac{173}{9}. $$

2. Периметр правильного треугольника равен $$18$$ см, значит его сторона

$$ a=\frac{18}{3}=6\text{ см}. $$

Для правильного треугольника, вписанного в окружность, радиус описанной окружности

$$ R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\text{ см}. $$

У квадрата, вписанного в ту же окружность, диагональ равна диаметру окружности:

$$ d=2R=4\sqrt{3}. $$

Тогда сторона квадрата

$$ s=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{6}\text{ см}. $$

Ответ

а) $$\left(x+\frac{7}{2}\right)^2+\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{125}{2}$$; б) $$\left(x-\frac{11}{3}\right)^2+\left(y+\frac{8}{3}\right)^2=\frac{173}{9}$$; $$2\sqrt{6}\text{ см}$$.