Упр.1088 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки $$A(3; 0)$$ и $$B(-1; 2)$$, если центр её лежит на прямой $$y=x+2$$.
2. На рисунке 311,6 изображён правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса $$R$$. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки ($$a_3$$ — сторона треугольника, $$P$$ — периметр треугольника, $$S$$ — его площадь, $$r$$ — радиус вписанной окружности).

Обозначим центр окружности через $$O(x;y)$$. Так как окружность проходит через точки $$A(3;0)$$ и $$B(-1;2)$$, то

$$OA=OB.$$

Запишем это через координаты:

$$(3-x)^2+(0-y)^2=(-1-x)^2+(2-y)^2.$$

Раскроем скобки:

$$9-6x+x^2+y^2=1+2x+x^2+4-4y+y^2.$$

$$9-6x=2x-4y+5,$$

$$8x-4y-4=0,$$

$$2x-y-1=0.$$

Центр лежит на прямой $$y=x+2$$, значит решаем систему:

$$\begin{cases} 2x-y-1=0,\\ y=x+2. \end{cases}$$

Подставим $$y=x+2$$ в первое уравнение:

$$2x-(x+2)-1=0,$$

$$x=3,\qquad y=5.$$

Следовательно, центр окружности $$O(3;5)$$. Найдём радиус:

$$R=OA=\sqrt{(3-3)^2+(0-5)^2}=5.$$

Тогда уравнение окружности:

$$(x-3)^2+(y-5)^2=25.$$

Ответ: $$\,(x-3)^2+(y-5)^2=25.$$