Упр.1086 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите координаты четвёртой вершины параллелограмма по заданным координатам трёх его вершин: $$(-4; 4),\ (-5; 1),\ (-1; 5)$$. Сколько решений имеет задача?
- Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают.
Пусть неизвестная вершина параллелограмма имеет координаты $$C(x;y).$$ Тогда по формуле расстояния находим:
$$AB=\sqrt{(-4+5)^2+(4-1)^2}=\sqrt{10},$$
$$AD=\sqrt{(-4+1)^2+(4-5)^2}=\sqrt{10},$$
$$BC=\sqrt{(-5-x)^2+(1-y)^2},$$
$$CD=\sqrt{(x+1)^2+(y-5)^2}.$$
В параллелограмме противоположные стороны равны, значит
$$AB=CD,\qquad BC=AD.$$
Получаем систему:
$$\begin{cases} (x+1)^2+(y-5)^2=10,\\ (-5-x)^2+(1-y)^2=10. \end{cases}$$
Раскроем скобки:
$$\begin{cases} x^2+2x+1+y^2-10y+25=10,\\ x^2+10x+25+y^2-2y+1=10. \end{cases}$$
Вычтем из второго уравнения первое:
$$8x+8y=0,\qquad x=-y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$(x+1)^2+(y-5)^2=10$$
$$(1-y)^2+(y-5)^2=10$$
$$y^2-6y+8=0.$$
Отсюда
$$y=2 \quad \text{или} \quad y=4.$$
Тогда
$$x=-2 \quad \text{или} \quad x=-4.$$
Получаем две точки: $$C(-2;2)$$ и $$C(-4;4).$$ Но точка $$(-4;4)$$ уже совпадает с данной вершиной $$A,$$ поэтому она не подходит.
Следовательно, искомая вершина:
$$C(-2;2).$$
Задача имеет одно решение.
