Упр.1085 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что четырёхугольник $$ABCD$$, вершины которого имеют координаты $$A(-2;-3)$$, $$B(1;4)$$, $$C(8;7)$$, $$D(5;0)$$, является ромбом. Найдите его площадь.
- Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают.
Найдём длины сторон четырёхугольника по формуле расстояния между двумя точками:
$$AB=\sqrt{(1-(-2))^2+(4-(-3))^2}=\sqrt{3^2+7^2}=\sqrt{58},$$
$$BC=\sqrt{(8-1)^2+(7-4)^2}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58},$$
$$CD=\sqrt{(5-8)^2+(0-7)^2}=\sqrt{(-3)^2+(-7)^2}=\sqrt{58},$$
$$AD=\sqrt{(5-(-2))^2+(0-(-3))^2}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58}.$$
Получили, что
$$AB=BC=CD=AD.$$
Следовательно, четырёхугольник $$ABCD$$ — ромб.
Теперь найдём его площадь. У ромба площадь равна половине произведения диагоналей:
$$S=\frac12 \cdot AC \cdot BD.$$
Вычислим диагонали:
$$AC=\sqrt{(8-(-2))^2+(7-(-3))^2}=\sqrt{10^2+10^2}=\sqrt{200}=10\sqrt2,$$
$$BD=\sqrt{(5-1)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4^2+(-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2.$$
Тогда
$$S=\frac12 \cdot 10\sqrt2 \cdot 4\sqrt2=\frac12 \cdot 80=40.$$
Ответ
$$ABCD$$ — ромб, $$S_{ABCD}=40$$.
