Упр.1081 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что точка D равноудалена от точек А, В и С, если а) D (1; 1), А (5; 4), В (4; -3), С (-2; 5); б) D (1; 0), А (7; -8), В (-5; 8), С (9; 6). Найдите углы правильного n-угольника, если: а) n = 3; б) n = 5; в) n = 6; г) n= 10; д) n= 18.

Подробный ответ

а) Найдём расстояния от точки $$D(1;1)$$ до точек $$A(5;4),\ B(4;-3),\ C(-2;5)$$ по формуле расстояния между двумя точками:

$$ AD=\sqrt{(5-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 $$
$$ DB=\sqrt{(4-1)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 $$
$$ DC=\sqrt{(-2-1)^2+(5-1)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 $$

Следовательно, $$AD=DB=DC$$, то есть точка $$D$$ равноудалена от точек $$A,\ B,\ C$$.

б) Аналогично для точки $$D(1;0)$$ и точек $$A(7;-8),\ B(-5;8),\ C(9;6)$$:

$$ AD=\sqrt{(7-1)^2+(-8-0)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 $$
$$ DB=\sqrt{(-5-1)^2+(8-0)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 $$
$$ DC=\sqrt{(9-1)^2+(6-0)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10 $$

Значит, $$AD=DB=DC$$, то есть точка $$D$$ равноудалена от точек $$A,\ B,\ C$$.

Угол правильного $$n$$-угольника вычисляется по формуле:

$$ \alpha=\frac{n-2}{n}\cdot 180^\circ $$

а) при $$n=3$$:
$$ \alpha=\frac{3-2}{3}\cdot 180^\circ=60^\circ $$

б) при $$n=5$$:
$$ \alpha=\frac{5-2}{5}\cdot 180^\circ=108^\circ $$

в) при $$n=6$$:
$$ \alpha=\frac{6-2}{6}\cdot 180^\circ=120^\circ $$

г) при $$n=10$$:
$$ \alpha=\frac{10-2}{10}\cdot 180^\circ=144^\circ $$

д) при $$n=18$$:
$$ \alpha=\frac{18-2}{18}\cdot 180^\circ=160^\circ $$