Упр.1077 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите координаты вектора $$p$$ и его длину, если:
а) $$p=7a-3b,\quad a=\{1;-1\},\quad b=\{5;-2\};$$
б) $$p=4a-2b,\quad a=\{6;3\},\quad b=\{5;4\};$$
в) $$p=5a-4b,\quad a=\left\{\frac{3}{5};\frac{1}{5}\right\},\quad b=\{6;-1\};$$
г) $$p=3(-2a-4b),\quad a=\{1;5\},\quad b=\{-1;-1\}.$$ - Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей:
а) описанных около треугольников;
б) вписанных в эти треугольники.
Пусть $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$, а коэффициент подобия равен $$k$$. Тогда соответствующие стороны относятся как $$k$$.
а) Для радиусов описанных окружностей
Обозначим радиусы описанных окружностей через $$R$$ и $$R_1$$. Для любого треугольника справедлива формула
$$a=2R\sin A,$$
где $$a$$ — сторона, лежащая против угла $$A$$.
Для подобных треугольников соответствующие углы равны, значит, например,
$$\frac{a}{a_1}=k,\qquad \sin A=\sin A_1.$$
Тогда
$$\frac{a}{2R\sin A}=\frac{a_1}{2R_1\sin A_1}$$
и, учитывая $$a/a_1=k$$ и $$\sin A=\sin A_1$$, получаем
$$\frac{R}{R_1}=k.$$
Следовательно, коэффициент подобия равен отношению радиусов описанных окружностей:
$$k=\frac{R}{R_1}.$$
б) Для радиусов вписанных окружностей
Пусть радиусы вписанных окружностей равны $$r$$ и $$r_1$$. Площадь треугольника выражается формулой
$$S=\frac{1}{2}pr,$$
где $$p$$ — периметр треугольника.
У подобных треугольников периметры относятся как коэффициент подобия:
$$\frac{p}{p_1}=k.$$
Кроме того, площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
$$\frac{S}{S_1}=k^2.$$
С другой стороны,
$$S=\frac{1}{2}pr,\qquad S_1=\frac{1}{2}p_1r_1.$$
Тогда
$$\frac{S}{S_1}=\frac{\frac{1}{2}pr}{\frac{1}{2}p_1r_1}=\frac{p}{p_1}\cdot\frac{r}{r_1}=k\cdot\frac{r}{r_1}.$$
Но $$\frac{S}{S_1}=k^2$$, значит
$$k\cdot\frac{r}{r_1}=k^2,$$
откуда
$$\frac{r}{r_1}=k.$$
Итак, коэффициент подобия равен отношению радиусов вписанных окружностей:
$$k=\frac{r}{r_1}.$$
Ответ
$$k=\frac{R}{R_1},\qquad k=\frac{r}{r_1}.$$
