Упр.1076 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ неколлинеарны. Найдите такое число $$x$$ (если это возможно), чтобы векторы $$\vec p$$ и $$\vec q$$ были коллинеарны:
а) $$\vec p=2\vec a-\vec b,\quad \vec q=\vec a+x\vec b$$;
б) $$\vec p=x\vec a-\vec b,\quad \vec q=\vec a+x\vec b$$;
в) $$\vec p=\vec a+x\vec b,\quad \vec q=\vec a-2\vec b$$;
г) $$\vec p=2\vec a+\vec b,\quad \vec q=x\vec a+\vec b$$.
Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны. Докажите, что этот параллелограмм является ромбом.

Подробный ответ

Пусть диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Тогда $$O$$ — середина обеих диагоналей, значит

$$AO=OC,\quad BO=OD.$$

По условию $$AC\perp BD$$, следовательно, $$AO\perp BO$$. Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COB$$. У них

$$AO=OC,\quad BO=BO,\quad \angle AOB=\angle COB=90^\circ.$$

Значит, $$\triangle AOB \cong \triangle COB$$, откуда

$$AB=BC.$$

Аналогично, треугольники $$AOD$$ и $$COD$$ равны, поэтому

$$AD=CD.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны:

$$AB=CD,\quad BC=AD.$$

Совмещая полученные равенства, имеем