Упр.1076 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Векторы а и b не коллинеарны. Найдите такое число х (если это возможно), чтобы векторы р и q были коллинеарны: а) p = 2a-b, q = a + xb; б) р = xa-b, q-a + xb; в) р = а + xb, q = а- 2b; г) p = 2a + b, q = xa + b Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны. Докажите, что этот параллелограмм является ромбом.

1) Пусть $$\vec p$$ и $$\vec q$$ коллинеарны. Тогда их координаты при разложении по неколлинеарным векторам $$\vec a$$ и $$\vec b$$ должны быть пропорциональны.

а) $$\vec p=2\vec a-\vec b,\quad \vec q=\vec a+x\vec b.$$
Для коллинеарности нужно, чтобы отношения коэффициентов при $$\vec a$$ и $$\vec b$$ были равны:

$$\frac{2}{1}=\frac{-1}{x}.$$

Отсюда

$$2x=-1,\qquad x=-\frac12.$$

б) $$\vec p=x\vec a-\vec b,\quad \vec q=\vec a+x\vec b.$$
Тогда

$$\frac{x}{1}=\frac{-1}{x}.$$

Получаем

$$x^2=-1.$$

Действительных решений нет, значит, при действительном $$x$$ векторы $$\vec p$$ и $$\vec q$$ не могут быть коллинеарны.

в) $$\vec p=\vec a+x\vec b,\quad \vec q=\vec a-2\vec b.$$
Имеем

$$\frac{1}{1}=\frac{x}{-2}.$$

Следовательно,

$$x=-2.$$

г) $$\vec p=2\vec a+\vec b,\quad \vec q=x\vec a+\vec b.$$
Для коллинеарности:

$$\frac{2}{x}=\frac{1}{1}.$$

Отсюда

$$x=2.$$

2) Докажем, что параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромб.

Пусть диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$ и $$AC\perp BD$$.

Так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle AOB$$ и $$\triangle COB$$. У них:

• $$BO$$ — общая сторона;
• $$AO=OC$$;
• $$\angle AOB=\angle COB=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle AOB\cong \triangle COB$$, откуда

$$AB=BC.$$

Аналогично из равенства треугольников $$\triangle AOD$$ и $$\triangle COD$$ получаем

$$AD=CD.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит

$$AB=CD,\qquad BC=AD.$$

Совместив это с найденным равенством $$AB=BC$$, получаем

$$AB=BC=CD=AD.$$

Следовательно, все стороны параллелограмма равны, значит, $$ABCD$$ — ромб.

Ответ

а) $$x=-\frac12$$; б) решений нет; в) $$x=-2$$; г) $$x=2$$. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.