Упр.1075 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Пусть диагонали ромба $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$. Введём систему координат так, чтобы $$O$$ был началом координат, а диагонали лежали на осях координат:

$$A(-a;0),\quad C(a;0),\quad B(0;b),\quad D(0;-b),\quad M(x;y).$$

Тогда

$$AM^2=(x+a)^2+y^2,$$

$$BM^2=x^2+(y-b)^2=x^2+(b-y)^2,$$

$$CM^2=(x-a)^2+y^2,$$

$$DM^2=x^2+(y+b)^2=x^2+(b+y)^2.$$

По условию

$$AM^2+DM^2=BM^2+CM^2.$$

Подставим выражения:

$$(x+a)^2+y^2+x^2+(b+y)^2=x^2+(b-y)^2+(a-x)^2+y^2.$$

Раскроем скобки и сократим одинаковые слагаемые:

$$x^2+2ax+a^2+y^2+x^2+b^2+2by+y^2 = x^2+b^2-2by+y^2+a^2-2ax+x^2+y^2.$$

Получаем

$$2ax+2by=-2by-2ax,$$

$$4ax=-4by,$$

$$ax=-by,$$

то есть

$$y=-\frac{a}{b}x.$$

Следовательно, множество всех точек $$M$$ — это прямая, проходящая через начало координат.

Найдём её уравнение через сторону $$AB$$. Прямая $$AB$$ проходит через точки $$A(-a;0)$$ и $$B(0;b)$$, поэтому её угловой коэффициент равен

$$k_{AB}=\frac{b-0}{0-(-a)}=\frac{b}{a}.$$

Тогда уравнение прямой $$AB$$:

$$y=\frac{b}{a}x+b.$$

Для искомой прямой имеем угловой коэффициент

$$k=-\frac{a}{b}.$$

Проверим перпендикулярность:

$$k\cdot k_{AB}=-\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=-1.$$

Значит, найденная прямая перпендикулярна стороне ромба $$AB$$.

Ответ: множество точек $$M$$ — прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей ромба и перпендикулярная стороне $$AB$$.