Упр.1074 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дан прямоугольник $ABCD$. Найдите множество всех точек $M$, для каждой из которых $$\left(AM^2+DM^2\right)-\left(BM^2+CM^2\right)=2AB^2.$$
Точка $M$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC$ и $$BM=kMC.$$ Докажите, что $$\left(1+k\right)^2AM^2=k^2b^2+2bc k\cos A+c^2,$$ где $$b=AC,\quad c=AB.$$

Подробный ответ

Расположим прямоугольник в координатной плоскости так, чтобы

$$A(0;0),\quad B(0;b),\quad D(a;0),\quad C(a;b),\quad M(x;y).$$

Тогда

$$AM^2=x^2+y^2,$$

$$BM^2=x^2+(b-y)^2,$$

$$DM^2=(a-x)^2+y^2,$$

$$CM^2=(a-x)^2+(b-y)^2,$$

$$AB^2=b^2.$$

Подставим в данное выражение:

$$\begin{aligned} &(AM^2+DM^2)-(BM^2+CM^2) \\ &=\bigl(x^2+y^2+(a-x)^2+y^2\bigr)-\bigl(x^2+(b-y)^2+(a-x)^2+(b-y)^2\bigr) \\ &=2y^2-2(b-y)^2 \\ &=2y^2-2(b^2-2by+y^2) \\ &=4by-2b^2. \end{aligned}$$

По условию это равно $$2AB^2=2b^2$$, значит

$$4by-2b^2=2b^2,$$
$$4by=4b^2,$$
$$y=b.$$

Следовательно, все точки $$M$$ лежат на прямой $$y=b$$, то есть на прямой, проходящей через точку $$B$$ и параллельной стороне $$AD$$ (или $$BC$$).