Упр.1073 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны две точки \(A\) и \(B\). Найдите множество всех точек \(M\), для каждой из которых $$BM^2-AM^2=2AB^2$$.
2. Четырёхугольник \(ABCD\) задан координатами своих вершин: $$A(-1; 2),\ B(1; -2),\ C(2; 0),\ D(1; 6)$$. Докажите, что \(ABCD\) — трапеция, и найдите её площадь.

Введём систему координат так, чтобы $$A(0;0),\; B(a;0).$$ Пусть $$M(x;y).$$ Тогда

$$BM^2=(a-x)^2+y^2,$$
$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$AB^2=a^2.$$

По условию

$$BM^2-AM^2=2AB^2.$$

Подставим выражения:

$$(a-x)^2+y^2-(x^2+y^2)=2a^2$$
$$a^2-2ax+x^2-x^2=2a^2$$
$$-2ax=a^2$$
$$x=-\frac{a}{2}.$$

Координата $$x$$ не зависит от $$y$$, значит множество всех точек $$M$$ — это прямая $$x=-\frac{a}{2}$$, то есть прямая, перпендикулярная $$AB$$ и проходящая через середину отрезка $$AB$$.