Упр.1072 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны две точки $$A$$ и $$B$$. Найдите множество всех точек $$M$$, для каждой из которых $$AM^2-BM^2=k$$, где $$k$$ — данное число.
2. Дан ромб $$MNPQ$$. Отрезок $$MF$$ — биссектриса треугольника $$MPQ$$, $$\angle NMQ=4a$$, $$FQ=a$$. Найдите площадь данного ромба.

Пусть $$\angle NMQ=4\alpha.$$ Тогда в ромбе диагональ $$MP$$ делит угол при вершине $$M$$ пополам, значит

$$\angle FMQ=\angle FMP=\alpha,$$

а так как соседние углы ромба supplementary, то

$$\angle MQP=180^\circ-4\alpha.$$

Рассмотрим треугольник $$MFQ$$. По теореме синусов:

$$\frac{FQ}{\sin \angle FMQ}=\frac{MF}{\sin \angle MQF}.$$

Так как $$FQ=a$$ и $$\angle MQF=4\alpha,$$ получаем

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{MF}{\sin 4\alpha},$$

откуда

$$MF=\frac{a\sin 4\alpha}{\sin \alpha}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$MFP$$. По теореме синусов:

$$\frac{MF}{\sin \angle MPF}=\frac{FP}{\sin \angle FMP}.$$

Здесь $$\angle MPF=2\alpha$$, $$\angle FMP=\alpha$$, поэтому

$$\frac{MF}{\sin 2\alpha}=\frac{FP}{\sin \alpha},$$

следовательно

$$FP=\frac{MF\sin \alpha}{\sin 2\alpha}.$$

Подставим найденное $$MF$$:

$$FP=\frac{a\sin 4\alpha}{\sin \alpha}\cdot \frac{\sin \alpha}{\sin 2\alpha}=\frac{a\sin 4\alpha}{\sin 2\alpha}=2a\cos 2\alpha.$$

Тогда сторона ромба

$$PQ=PF+FQ=2a\cos 2\alpha+a=a(1+2\cos 2\alpha).$$

Площадь ромба равна

$$S=PQ^2\sin \angle MQP.$$

Так как $$\angle MQP=180^\circ-4\alpha,$$ то $$\sin \angle MQP=\sin 4\alpha$$, и потому

$$S=a^2(1+2\cos 2\alpha)^2\sin 4\alpha.$$

Раскроем квадрат:

$$S=a^2(1+4\cos 2\alpha+4\cos^2 2\alpha)\sin 4\alpha.$$

Ответ: $$a^2(1+4\cos 2\alpha+4\cos^2 2\alpha)\sin 4\alpha.$$