Упр.1071 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM2 + ВМ2 = k2, где k — данное число. В треугольнике ABC, площадь которого равна 3корень3, угол А острый, АВ = 4корень3, АС = 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Пусть точки $$A$$ и $$B$$ лежат на оси $$Ox$$, причём $$A(0;0)$$, $$B(a;0)$$, а искомая точка $$M(x;y)$$.

Тогда

$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$BM^2=(a-x)^2+y^2.$$

По условию

$$AM^2+BM^2=k^2,$$

значит

$$x^2+y^2+(a-x)^2+y^2=k^2.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$2x^2-2ax+a^2+2y^2=k^2,$$

$$2\left(x^2-ax+\frac{a^2}{4}\right)+2y^2=k^2-\frac{a^2}{2},$$

$$2\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+2y^2=k^2-\frac{a^2}{2}.$$

Делим на $$2$$:

$$\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+y^2=\frac{2k^2-a^2}{4}.$$

Это уравнение окружности с центром в точке $$\left(\frac{a}{2};0\right)$$ и радиусом

$$R=\sqrt{\frac{2k^2-a^2}{4}}.$$

Следовательно, множество всех точек $$M$$ — окружность с центром в середине отрезка $$AB$$.

Теперь найдём радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$.

Площадь треугольника:

$$S=\frac12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A.$$

Подставим данные:

$$3\sqrt3=\frac12 \cdot 4\sqrt3 \cdot 3 \cdot \sin \angle A,$$

$$3\sqrt3=6\sqrt3 \sin \angle A,$$

$$\sin \angle A=\frac12.$$

Так как угол $$A$$ острый, то

$$\angle A=30^\circ.$$

По теореме косинусов:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A,$$

$$BC^2=(4\sqrt3)^2+3^2-2\cdot 4\sqrt3 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt3}{2},$$

$$BC^2=48+9-36=21,$$

$$BC=\sqrt{21}.$$

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin \angle A}=2R,$$

$$\frac{\sqrt{21}}{\sin 30^\circ}=2R,$$

$$\frac{\sqrt{21}}{1/2}=2R,$$

$$2\sqrt{21}=2R,$$

$$R=\sqrt{21}.$$

Ответ

Множество точек $$M$$ — окружность с центром в середине отрезка $$AB$$. Радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$ равен $$\sqrt{21}$$.