Упр.1071 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых $$AM^2+BM^2=k^2$$, где $$k$$ — данное число.
2. В треугольнике ABC, площадь которого равна $$3\sqrt{3}$$, угол A острый, $$AB=4\sqrt{3}$$, $$AC=3$$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Площадь треугольника выражается формулой

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot \sin\angle A.$$

Подставим данные:

$$3\sqrt3=\frac12\cdot 4\sqrt3\cdot 3\cdot \sin\angle A.$$

Тогда

$$3\sqrt3=6\sqrt3\sin\angle A,$$

$$\sin\angle A=\frac{3\sqrt3}{6\sqrt3}=\frac12.$$

Так как угол $$A$$ острый, то $$\angle A=30^\circ.$$

Найдём сторону $$BC$$ по теореме косинусов:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos\angle A.$$

Подставим значения:

$$BC^2=(4\sqrt3)^2+3^2-2\cdot 4\sqrt3\cdot 3\cdot \cos30^\circ,$$

$$BC^2=48+9-24\sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{2}=57-36=21.$$

Значит, $$BC=\sqrt{21}.$$

Теперь используем теорему синусов:

$$\frac{BC}{\sin\angle A}=2R.$$

Тогда

$$\frac{\sqrt{21}}{\sin30^\circ}=2R,$$

$$\frac{\sqrt{21}}{1/2}=2R,$$

$$2\sqrt{21}=2R,$$

$$R=\sqrt{21}.$$

Ответ: $$\sqrt{21}$$.