Упр.1070 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: очка В — середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: a) AM2 + ВМ2 + СМ2 = 50; б) AM2 + 2ВМ2 + 3СМ2 = 4 В трапеции ABCD с основаниями АD=16см и ВС = 8 см боковая сторона равна 4корень7 см, a угол ADC = 60°. Через вершину С проведена прямая l, делящая трапецию на два многоугольника, площади которых равны. Найдите площадь трапеции и длину отрезка прямой l, заключённого внутри трапеции.

Обозначим через $$C_1$$ точку пересечения прямой $$l$$ с основанием $$AD$$. Тогда фигуры $$ABCC_1$$ и $$CC_1D$$ имеют равные площади.

Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CH$$ на основание $$AD$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$CDH$$:

$$\sin 60^\circ=\frac{CH}{CD}$$

$$CH=4\sqrt7\cdot \frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt{21}\text{ см}.$$

Площадь трапеции:

$$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH=\frac{8+16}{2}\cdot 2\sqrt{21}=24\sqrt{21}\text{ см}^2.$$

Так как прямая $$l$$ делит трапецию на две равновеликие части, то

$$S_{CC_1D}=\frac{1}{2}S_{ABCD}=12\sqrt{21}\text{ см}^2.$$

С другой стороны, для треугольника $$CC_1D$$:

$$S_{CC_1D}=\frac{1}{2}\cdot CH\cdot C_1D.$$

Тогда

$$12\sqrt{21}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{21}\cdot C_1D,$$

откуда

$$C_1D=12\text{ см}.$$

Теперь найдём длину отрезка $$CC_1$$. В треугольнике $$CDC_1$$ по теореме косинусов:

$$CC_1^2=CD^2+C_1D^2-2\cdot CD\cdot C_1D\cdot \cos 60^\circ.$$

Подставим значения:

$$CC_1^2=(4\sqrt7)^2+12^2-2\cdot 4\sqrt7\cdot 12\cdot \frac{1}{2}$$

$$CC_1^2=112+144-48\sqrt7=256-48\sqrt7.$$

Следовательно,

$$CC_1=\sqrt{256-48\sqrt7}=4\sqrt{16-3\sqrt7}\approx 11{,}35\text{ см}.$$

Ответ

$$S_{ABCD}=24\sqrt{21}\text{ см}^2,\quad CC_1\approx 11{,}35\text{ см}.$$