Упр.1068 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите количество общих точек окружностей, заданных уравнениями:
   а) $$(x+2)^2+y^2=1$$ и $$x^2+y^2=4$$;
   б) $$(x+3)^2+y^2=1$$ и $$x^2+y^2=4$$.
2. При каком значении $$x$$ векторы $$p=xa+17b$$ и $$q=3a-b$$ перпендикулярны, если $$|a|=2$$, $$|b|=5$$ и $$ab=120^\circ$$?

а) Найдём число общих точек окружностей

$$\left(x+2\right)^2+y^2=1,$$

$$x^2+y^2=4.$$

Из второго уравнения имеем $$y^2=4-x^2.$$ Подставим в первое:

$$\left(x+2\right)^2+4-x^2=1.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+4x+4+4-x^2=1,$$

$$4x=-7,$$

$$x=-\frac{7}{4}.$$

Тогда

$$y^2=4-\left(\frac{7}{4}\right)^2=4-\frac{49}{16}=\frac{15}{16}>0.$$

Значит, есть две точки пересечения.

б) Рассмотрим окружности

$$\left(x+3\right)^2+y^2=1,$$

$$x^2+y^2=4.$$

Снова подставим $$y^2=4-x^2$$ в первое уравнение:

$$\left(x+3\right)^2+4-x^2=1.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+6x+9+4-x^2=1,$$

$$6x=-12,$$

$$x=-2.$$

Тогда

$$y^2=4-(-2)^2=4-4=0,$$

$$y=0.$$

Следовательно, окружности имеют одну общую точку.

Ответ: а) две точки; б) одна точка.