Упр.1065 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Взаимное расположение:
y=x-2, x^2+(y-2)^2=9;
y=x-2, x^2+(x-4)^2=9;
x^2+(x^2-8x+16)=9;
2x^2-8x+7=0;
D=8^2-4•2•7=64-56;
D=8>0, x_1 принадлежит R, x_2 принадлежит R;
Ответ: пересекаются. Докажите, что треугольник с вершинами А (3; 0), В (1; 5) и С (2; 1) тупоугольный. Найдите косинус тупого угла.

Подробный ответ

Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{(3-1)^2+(0-5)^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29},$$
$$BC=\sqrt{(1-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17},$$
$$AC=\sqrt{(3-2)^2+(0-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.$$

Наибольшая сторона — $$AB$$, значит, против неё лежит наибольший угол $$\angle C$$. Найдём его косинус по теореме косинусов:

$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C,$$
$$29=2+17-2\sqrt{2}\cdot \sqrt{17}\cdot \cos \angle C,$$
$$29=19-2\sqrt{34}\cos \angle C,$$
$$10=-2\sqrt{34}\cos \angle C,$$
$$\cos \angle C=-\frac{5}{\sqrt{34}}.$$

Так как $$\cos \angle C<0$$, то угол $$\angle C$$ тупой. Следовательно, треугольник $$ABC$$ тупоугольный.