Упр.1065 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая и окружность заданы уравнениями $$y=x-2$$ и $$x^2+(y-2)^2=9$$. Установите их взаимное расположение.
2. Докажите, что треугольник с вершинами $$A(3; 0)$$, $$B(1; 5)$$ и $$C(2; 1)$$ тупоугольный. Найдите косинус тупого угла.

Подставим уравнение прямой $$y=x-2$$ в уравнение окружности $$x^2+(y-2)^2=9$$:

$$x^2+\bigl((x-2)-2\bigr)^2=9,$$

$$x^2+(x-4)^2=9,$$

$$x^2+x^2-8x+16=9,$$

$$2x^2-8x+7=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-8)^2-4\cdot 2\cdot 7=64-56=8.$$

Так как $$D>0,$$ уравнение имеет два действительных корня. Значит, прямая и окружность имеют две общие точки, то есть пересекаются.

Ответ: пересекаются.