Упр.1061 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Напишите уравнения прямых, проходящих через точку М (2; 5) и параллельных осям координат. Используя теорему косинусов, решите треугольник ABC, если: а) АВ = 5 см, АС = 7,5 см, угол A = 135°; б) АВ = 2корень2 дм, ВС — 3 дм, угол B = 45°; в) АС = 0,6 м, ВС = корень3/4дм, угол C = 150°.

Подробный ответ

Прямая, параллельная оси $$Ox$$, имеет вид $$y=c$$. Так как она проходит через точку $$M(2;5)$$, то $$c=5$$. Значит, $$l_1: y=5$$.

Прямая, параллельная оси $$Oy$$, имеет вид $$x=c$$. Так как она проходит через точку $$M(2;5)$$, то $$c=2$$. Значит, $$l_2: x=2$$.

Ответ: $$y=5$$, $$x=2$$.

а) По теореме косинусов:

$$ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A $$
$$ BC^2=5^2+7{,}5^2-2\cdot 5\cdot 7{,}5\cdot \cos 135^\circ $$
$$ BC^2=25+56{,}25-75\cdot \left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=81{,}25+37{,}5\sqrt2 $$
$$ BC\approx 11{,}59\text{ см} $$

Найдём угол $$B$$:

$$ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B $$
$$ 7{,}5^2=5^2+11{,}59^2-2\cdot 5\cdot 11{,}59\cdot \cos B $$
$$ \cos B\approx 0{,}8889,\qquad \angle B\approx 27^\circ 15′ $$

Тогда

$$ \angle C=180^\circ-\angle A-\angle B $$
$$ \angle C=180^\circ-135^\circ-27^\circ 15’=17^\circ 45′ $$

б) По теореме косинусов:

$$ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B $$
$$ AC^2=(2\sqrt2)^2+3^2-2\cdot 2\sqrt2\cdot 3\cdot \cos 45^\circ $$
$$ AC^2=8+9-12\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=17-12=5 $$
$$ AC=\sqrt5\text{ дм} $$

Найдём угол $$C$$:

$$ AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C $$
$$ 8=5+9-2\cdot \sqrt5\cdot 3\cdot \cos C $$
$$ 6\sqrt5\cos C=6 $$
$$ \cos C=\frac{1}{\sqrt5} $$
$$ \angle C\approx 63^\circ 26′ $$

Тогда

$$ \angle A=180^\circ-\angle B-\angle C $$
$$ \angle A=180^\circ-45^\circ-63^\circ 26’=71^\circ 34′ $$

в) Переведём длину $$AC$$ в дм:

$$ AC=0{,}6\text{ м}=6\text{ дм} $$

По теореме косинусов:

$$ AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C $$
$$ AB^2=6^2+\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^2-2\cdot 6\cdot \frac{\sqrt3}{4}\cdot \cos 150^\circ $$
$$ AB^2=36+\frac{3}{16}-3\sqrt3\cdot \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) $$
$$ AB^2=36+\frac{3}{16}+\frac{9}{2}=40{,}6875 $$
$$ AB=6{,}375\text{ дм} $$

Найдём угол $$B$$:

$$ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B $$
$$ 36=40{,}6875+\frac{3}{16}-2\cdot 6{,}375\cdot \frac{\sqrt3}{4}\cdot \cos B $$
$$ \cos B\approx 0{,}8796,\qquad \angle B\approx 28^\circ 24′ $$

Тогда

$$ \angle A=180^\circ-\angle B-\angle C $$
$$ \angle A=180^\circ-28^\circ 24′-150^\circ=1^\circ 36′ $$