Упр.1060 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны координаты вершин трапеции ABCD: А (-2; -2), В(-3;1), С (7; 7) и D(3; 1). Напишите уравнения прямых, содержащих: а) диагонали АС и BD трапеции; б) среднюю линию трапеции. Используя теорему синусов, решите треугольник ABC, если: а) АВ = 8 см, угол A = 30°, угол B = 45°; б) АВ = 5 см, угол B = 45°, угол C = 60°; в) АВ = 3см, ВС = 3,3 см, угол A = 48°30′; г) АС = 10,4 см, ВС = 5,2 см, угол B = 62°48′.

а) Найдём уравнение прямой AC. Для точек $$A(-2;-2)$$ и $$C(7;7)$$ угловой коэффициент равен

$$k=\frac{7-(-2)}{7-(-2)}=1.$$

Значит, прямая AC имеет вид $$y=x$$, то есть

$$x-y=0.$$

Теперь найдём уравнение прямой BD. Для точек $$B(-3;1)$$ и $$D(3;1)$$ ординаты одинаковы, значит, это горизонтальная прямая:

$$y=1,$$

или

$$y-1=0.$$

б) Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Найдём середины отрезков $$AB$$ и $$CD$$.

$$M\left(\frac{-2+(-3)}{2};\frac{-2+1}{2}\right)=\left(-\frac{5}{2};-\frac{1}{2}\right),$$

$$N\left(\frac{7+3}{2};\frac{7+1}{2}\right)=(5;4).$$

Уравнение прямой через точки $$M\left(-\frac{5}{2};-\frac{1}{2}\right)$$ и $$N(5;4)$$ найдём по угловому коэффициенту:

$$k=\frac{4-(-\frac{1}{2})}{5-(-\frac{5}{2})}=\frac{\frac{9}{2}}{\frac{15}{2}}=\frac{3}{5}.$$

Тогда

$$y+\frac{1}{2}=\frac{3}{5}\left(x+\frac{5}{2}\right).$$

После преобразования получаем

$$3x-5y+5=0.$$

в) В треугольнике $$ABC$$ по теореме синусов

$$\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{AC}{\sin \angle B}=\frac{BC}{\sin \angle A}.$$

Сначала найдём третий угол:

$$\angle C=180^\circ-(30^\circ+45^\circ)=105^\circ.$$

Тогда

$$AC=\frac{AB\sin \angle B}{\sin \angle C}=\frac{8\sin 45^\circ}{\sin 105^\circ}\approx 5{,}86\text{ см},$$

$$BC=\frac{AB\sin \angle A}{\sin \angle C}=\frac{8\sin 30^\circ}{\sin 105^\circ}\approx 4{,}14\text{ см}.$$

г) Снова применим теорему синусов:

$$\frac{AC}{\sin \angle B}=\frac{BC}{\sin \angle A}=\frac{AB}{\sin \angle C}.$$

Найдём угол $$A$$:

$$\sin \angle A=\frac{BC\sin \angle B}{AC}=\frac{5{,}2\sin 62^\circ48′}{10{,}4}\approx 0{,}4447,$$

откуда

$$\angle A\approx 26^\circ24′.$$

Тогда

$$\angle C=180^\circ-(62^\circ48’+26^\circ24′)=90^\circ48′.$$

Теперь найдём $$AB$$:

$$AB=\frac{AC\sin \angle C}{\sin \angle B}=\frac{10{,}4\sin 90^\circ48′}{\sin 62^\circ48′}\approx 11{,}69\text{ см}.$$

Ответ

а) $$x-y=0,$$ $$y-1=0.$$

б) $$3x-5y+5=0.$$

в) $$\angle C=105^\circ,$$ $$AC\approx 5{,}86\text{ см},$$ $$BC\approx 4{,}14\text{ см}.$$

г) $$\angle A\approx 26^\circ24′,$$ $$\angle C\approx 90^\circ48′,$$ $$AB\approx 11{,}69\text{ см}.$$