Упр.1060 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны координаты вершин трапеции $$ABCD$$: $$A(-2;-2)$$, $$B(-3;1)$$, $$C(7;7)$$ и $$D(3;1)$$. Напишите уравнения прямых, содержащих: а) диагонали $$AC$$ и $$BD$$ трапеции; б) среднюю линию трапеции.
- Используя теорему синусов, решите треугольник $$ABC$$, если: а) $$AB=8\text{ см}$$, $$\angle A=30^\circ$$, $$\angle B=45^\circ$$; б) $$AB=5\text{ см}$$, $$\angle B=45^\circ$$, $$\angle C=60^\circ$$; в) $$AB=3\text{ см}$$, $$BC=3{,}3\text{ см}$$, $$\angle A=48^\circ30’$$; г) $$AC=10{,}4\text{ см}$$, $$BC=5{,}2\text{ см}$$, $$\angle B=62^\circ48’$$.
Обозначим уравнение прямой в общем виде: $$ax+by+c=0.$$
а) Диагонали $$AC$$ и $$BD$$
Прямая $$AC$$ проходит через точки $$A(-2;-2)$$ и $$C(7;7)$$. Подставим их координаты в уравнение:
$$\begin{cases} -2a-2b+c=0,\\ 7a+7b+c=0. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$9a+9b=0 \;\Rightarrow\; a+b=0 \;\Rightarrow\; a=-b.$$
Подставим в первое уравнение:
$$-2(-b)-2b+c=0 \;\Rightarrow\; c=0.$$
Тогда уравнение прямой $$AC$$ имеет вид:
$$x-y=0.$$
Прямая $$BD$$ проходит через точки $$B(-3;1)$$ и $$D(3;1)$$. У обеих точек одинаковая ордината, значит прямая горизонтальна:
$$y=1,$$
или в общем виде
$$y-1=0.$$
б) Средняя линия трапеции
Найдём середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$:
$$M\left(\frac{-2+(-3)}{2};\frac{-2+1}{2}\right)=\left(-\frac{5}{2};-\frac{1}{2}\right),$$
$$N\left(\frac{7+3}{2};\frac{7+1}{2}\right)=(5;4).$$
Средняя линия $$MN$$ проходит через точки $$M\left(-\frac{5}{2};-\frac{1}{2}\right)$$ и $$N(5;4)$$. Найдём её уравнение.
Угловой коэффициент:
$$k=\frac{4-(-\frac12)}{5-(-\frac52)}=\frac{\frac92}{\frac{15}{2}}=\frac35.$$
Тогда
$$y+\frac12=\frac35\left(x+\frac52\right).$$
Упростим:
$$y+\frac12=\frac35x+\frac32,$$
$$y=\frac35x+1.$$
Перейдём к общему виду:
$$3x-5y+5=0.$$
Ответ
$$AC:\ x-y=0,\qquad BD:\ y-1=0,\qquad MN:\ 3x-5y+5=0.$$
