Упр.1058 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) А (1; -1) и В (-3; 2); б) С (2; 5) и D (5; 2); в) М (0; 1) и N (-4; -5). Найдите площадь треугольника ABC, если: а) ВС = 4,125 м, угол B = 44°, угол C=72°; б) ВС = 4100 м, угол A = 32°, угол C = 120°

а) Найдём уравнение прямой, проходящей через точки $$A(1;-1)$$ и $$B(-3;2)$$.

Пусть искомая прямая имеет вид $$ax+by+c=0$$. Тогда координаты обеих точек удовлетворяют этому уравнению:

$$ \begin{cases} a\cdot 1+b\cdot(-1)+c=0,\\ a\cdot(-3)+b\cdot 2+c=0. \end{cases} $$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} a-b+c=0,\\ -3a+2b+c=0. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ -4a+3b=0. $$

Возьмём, например, $$a=3$$, тогда $$b=4$$. Подставим в первое уравнение:

$$ 3-4+c=0 \Rightarrow c=1. $$

Следовательно, уравнение прямой:

$$ 3x+4y+1=0. $$

б) Для точек $$C(2;5)$$ и $$D(5;2)$$ аналогично:

$$ \begin{cases} 2a+5b+c=0,\\ 5a+2b+c=0. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ 3a-3b=0 \Rightarrow a=b. $$

Пусть $$a=b=1$$. Тогда из первого уравнения:

$$ 2+5+c=0 \Rightarrow c=-7. $$

Искомое уравнение:

$$ x+y-7=0. $$

в) Для точек $$M(0;1)$$ и $$N(-4;-5)$$:

$$ \begin{cases} b+c=0,\\ -4a-5b+c=0. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$c=-b$$. Подставим во второе:

$$ -4a-5b-b=0 \Rightarrow -4a-6b=0 \Rightarrow 2a+3b=0. $$

Возьмём $$a=3$$, тогда $$b=-2$$, а значит $$c=2$$. Получаем:

$$ 3x-2y+2=0. $$

Найдём площадь треугольника.

а) Дано: $$BC=4{,}125\text{ м}$$, $$\angle B=44^\circ$$, $$\angle C=72^\circ$$.

Сначала найдём третий угол:

$$ \angle A=180^\circ-(44^\circ+72^\circ)=64^\circ. $$

По теореме синусов:

$$ \frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{BC}{\sin \angle A} $$

$$ AB=\frac{BC\cdot \sin 72^\circ}{\sin 64^\circ} =\frac{4{,}125\cdot \sin 72^\circ}{\sin 64^\circ} \approx \frac{4{,}125\cdot 0{,}9511}{0{,}8988}\approx 4{,}365\text{ м}. $$

Теперь площадь:

$$ S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin \angle B $$

$$ S_{ABC}=\frac12\cdot 4{,}365\cdot 4{,}125\cdot \sin 44^\circ \approx \frac12\cdot 4{,}365\cdot 4{,}125\cdot 0{,}695\approx 6{,}25\text{ м}^2. $$

б) Дано: $$BC=4100\text{ м}$$, $$\angle A=32^\circ$$, $$\angle C=120^\circ$$.

Найдём угол $$B$$:

$$ \angle B=180^\circ-(32^\circ+120^\circ)=28^\circ. $$

По теореме синусов:

$$ \frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{BC}{\sin \angle A} $$

$$ AB=\frac{BC\cdot \sin 120^\circ}{\sin 32^\circ} =\frac{4100\cdot \sin 120^\circ}{\sin 32^\circ} \approx \frac{4100\cdot 0{,}866}{0{,}5299}\approx 6700{,}5\text{ м}. $$

Тогда площадь:

$$ S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin \angle B $$

$$ S_{ABC}=\frac12\cdot 6700{,}5\cdot 4100\cdot \sin 28^\circ \approx \frac12\cdot 6700{,}5\cdot 4100\cdot 0{,}4695 \approx 6448673{,}1\text{ м}^2. $$

Ответ

$$ \begin{aligned} &\text{а) } 3x+4y+1=0;\\ &\text{б) } x+y-7=0;\\ &\text{в) } 3x-2y+2=0;\\ &\text{площади: а) } 6{,}25\text{ м}^2,\ \text{б) } 6448673{,}1\text{ м}^2. \end{aligned} $$