Упр.1057 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки $$A(-3; 0)$$ и $$B(0; 9)$$, если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.
2. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ $$AB=AC=b$$, угол $$A=30^\circ$$. Найдите высоты $$BE$$ и $$AD$$, а также отрезки $$AE$$, $$EC$$, $$BC$$.

Пусть центр окружности имеет координаты $$O(0;y)$$, так как он лежит на оси ординат.

Точки $$A(-3;0)$$ и $$B(0;9)$$ принадлежат окружности, значит, $$OA=OB=R$$.

Составим уравнение по расстояниям:

$$OA=\sqrt{(-3-0)^2+(0-y)^2}=\sqrt{9+y^2},$$

$$OB=\sqrt{(0-0)^2+(9-y)^2}=|9-y|.$$

Так как $$OA=OB$$, получаем:

$$\sqrt{9+y^2}=|9-y|.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$9+y^2=(9-y)^2=81-18y+y^2,$$

$$18y=72,$$

$$y=4.$$

Тогда радиус окружности:

$$R=OA=\sqrt{9+4^2}=\sqrt{25}=5.$$

Следовательно, уравнение окружности:

$$x^2+(y-4)^2=25.$$

Ответ: $$x^2+(y-4)^2=25.$$