Упр.1055 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Напишите уравнение окружности с диаметром $$MN$$, если:
а) $$M(-3; 5),\ N(7; -3)$$;
б) $$M(2; -1),\ N(4; 3)$$. - Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.
Обозначим векторы $$\overrightarrow{CA_1}=\vec a$$ и $$\overrightarrow{CB_1}=\vec b.$$ Так как $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — медианы, а треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то точки $$A_1$$ и $$B_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AB$$ соответственно. Поэтому
$$\overrightarrow{CA}=\vec a+\vec b,\qquad \overrightarrow{CB}=\vec a+\vec b.$$
Тогда
$$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{CA_1}-\overrightarrow{CA}=\vec a-(\vec a+\vec b)=-\vec b,$$
$$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CB_1}-\overrightarrow{CB}=\vec b-(\vec a+\vec b)=-\vec a.$$
Из условия $$AA_1 \perp BB_1$$ следует, что
$$\overrightarrow{AA_1}\cdot \overrightarrow{BB_1}=0,$$
то есть
$$(-\vec b)\cdot(-\vec a)=\vec a\cdot \vec b=0.$$
Значит, угол между векторами $$\vec a$$ и $$\vec b$$ равен $$90^\circ$$. Но этот угол и есть угол при вершине $$C$$, лежащий против основания равнобедренного треугольника.
Ответ: $$90^\circ$$.
