Упр.1052 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Напишите уравнение окружности радиуса $$r$$ с центром $$A$$, если:
   а) $$A(0; 5),\ r=3$$;
   б) $$A(-1; 2),\ r=2$$;
   в) $$A(-3; -7),\ r=\frac{1}{2}$$;
   г) $$A(4; -3),\ r=10$$.
2. Вычислите скалярное произведение векторов $$p=a-b-c$$ и $$q=a-b+c$$, если $$|a|=5$$, $$|b|=2$$, $$|c|=4$$ и $$a$$ перпендикулярен $$b$$.

Так как $$\vec a \perp \vec b,$$ то $$\vec a \cdot \vec b=0.$$

Найдём скалярное произведение:

$$\vec p \cdot \vec q=(\vec a-\vec b-\vec c)(\vec a-\vec b+\vec c).$$

Раскроем скобки:

$$\vec p \cdot \vec q=\vec a\cdot\vec a-\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c-\vec b\cdot\vec a+\vec b\cdot\vec b-\vec b\cdot\vec c-\vec c\cdot\vec a+\vec c\cdot\vec b-\vec c\cdot\vec c.$$

С учётом $$\vec a\cdot\vec b=0$$ и симметрии скалярного произведения получаем:

$$\vec p \cdot \vec q=|\vec a|^2+|\vec b|^2-|\vec c|^2.$$

Подставим данные:

$$\vec p \cdot \vec q=5^2+2^2-4^2=25+4-16=13.$$

Ответ: $$13$$.