Упр.1052 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Напишите уравнение окружности радиуса r с центром А, если: а) А (0; 5), r= 3; б) А(-1; 2), r = 2; в) А (-3;-7), r =1/2; г) А(4;-3), r=10. Вычислите скалярное произведение векторов р=а-b-с и q = a-b + c, если |а| = 5, |b| = 2, | с | = 4 и а перпендикулярен b.

Подробный ответ

Уравнение окружности с центром $$A(x_0;y_0)$$ и радиусом $$r$$ имеет вид

$$ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2. $$

Тогда:

а) при $$A(0;5)$$ и $$r=3$$ получаем

$$x^2+(y-5)^2=9;$$

б) при $$A(-1;2)$$ и $$r=2$$ получаем

$$ (x+1)^2+(y-2)^2=4; $$

в) при $$A(-3;-7)$$ и $$r=\frac{1}{2}$$ получаем

$$ (x+3)^2+(y+7)^2=\frac{1}{4}; $$

г) при $$A(4;-3)$$ и $$r=10$$ получаем

$$ (x-4)^2+(y+3)^2=100. $$

Теперь найдём скалярное произведение векторов $$\vec p=\vec a-\vec b-\vec c$$ и $$\vec q=\vec a-\vec b+\vec c$$.

Раскроем скобки:

$$ \vec p\cdot \vec q=(\vec a-\vec b-\vec c)(\vec a-\vec b+\vec c). $$

Используем распределительное свойство:

$$ \vec p\cdot \vec q=\vec a^2-\vec a\cdot \vec b+\vec a\cdot \vec c-\vec a\cdot \vec b+\vec b^2-\vec b\cdot \vec c-\vec a\cdot \vec c+\vec b\cdot \vec c-\vec c^2. $$

Так как $$\vec a \perp \vec b$$, то $$\vec a\cdot \vec b=0$$. Кроме того, слагаемые $$\vec a\cdot \vec c$$ и $$-\vec a\cdot \vec c$$, а также $$-\vec b\cdot \vec c$$ и $$\vec b\cdot \vec c$$ сокращаются. Получаем:

$$ \vec p\cdot \vec q=\vec a^2+\vec b^2-\vec c^2. $$

Подставим значения длин векторов:

$$ \vec p\cdot \vec q=5^2+2^2-4^2=25+4-16=13. $$