Упр.1051 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Напишите уравнения окружностей с центром в начале координат и радиусами r1 = 3, r2 = корень2, г3 =5/2. Известно, что ас = bс = 60°, |а|=1, |b| = |c| = 2. Вычислите (а + b)x с.
Рассмотрим треугольники $$\triangle ABK$$ и $$\triangle AFK$$.
Они прямоугольные, так как $$BK \perp AK$$ и $$FK \perp AK$$.
Из условия $$\angle DAB=\angle DAK+\angle CAB=120^\circ$$, значит
$$\angle BAK=120^\circ-90^\circ=30^\circ.$$
Тогда в прямоугольном треугольнике $$\triangle ABK$$
$$BK=\frac12 AB=\frac12.$$
Далее
$$FK=BF-BK=2-\frac12=\frac32.$$
По теореме Пифагора для треугольника $$\triangle AFK$$:
$$AK^2=AF^2-FK^2.$$
С другой стороны, для треугольника $$\triangle ABK$$:
$$AK^2=AB^2-BK^2=1-\frac14=\frac34.$$
Тогда
$$AF^2-\frac94=\frac34,$$
$$AF^2=3,$$
$$AF=\sqrt{3}.$$
Следовательно, $$|\vec a+\vec b|=\sqrt{3}.$$
Так как $$AF=\frac12 AE$$, то $$AE$$ — биссектриса, значит угол между $$\vec c$$ и $$(\vec a+\vec b)$$ равен $$30^\circ$$.
Тогда
$$ (\vec a+\vec b)\cdot \vec c =|\vec a+\vec b|\cdot |\vec c|\cdot \cos 30^\circ =\sqrt{3}\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =3. $$
Ответ: $$3$$.
