Упр.1049 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На окружности, заданной уравнением $$x^2+y^2=25$$, найдите точки: а) с абсциссой $$-4$$; б) с ординатой $$3$$.
- Найдите углы треугольника с вершинами $$A(-1;\sqrt{3})$$, $$B(1;-\sqrt{3})$$ и $$C\left(\frac{1}{2};\sqrt{3}\right)$$.
Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками:
$$AB=\sqrt{(1-(-1))^2+(-\sqrt3-\sqrt3)^2}=\sqrt{4+12}=4,$$
$$AC=\sqrt{\left(\frac12-(-1)\right)^2+(\sqrt3-\sqrt3)^2}=\sqrt{\frac94}=\frac32,$$
$$BC=\sqrt{\left(\frac12-1\right)^2+(\sqrt3-(-\sqrt3))^2}=\sqrt{\frac14+12}=\frac72.$$
Теперь найдём углы треугольника по теореме косинусов.
Для угла $$A$$:
$$\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{16+\frac94-\frac{49}{4}}{2\cdot 4\cdot \frac32}=\frac{6}{12}=\frac12,$$
значит, $$\angle A=60^\circ.$$
Для угла $$C$$:
$$\cos C=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{\frac94+\frac{49}{4}-16}{2\cdot \frac32\cdot \frac72}=\frac{-6}{21}=-\frac27,$$
откуда $$\angle C\approx 98^\circ 13′.$$
Тогда
$$\angle B=180^\circ-\angle A-\angle C=180^\circ-60^\circ-98^\circ 13’=21^\circ 47′.$$
Ответ: $$\angle A=60^\circ,\ \angle B=21^\circ 47′,\ \angle C=98^\circ 13′.$$
