Упр.1049 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: На окружности, заданной уравнением х2 + у2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой -4; б) с ординатой 3 Найдите углы треугольника с вершинами А (-1;корень3), В (1; -корень3) и C(1/2;корень3).

Подробный ответ

Найдём координаты точек окружности $$x^2+y^2=25$$.

а) Если $$x=-4$$, то

$$(-4)^2+y^2=25,$$

$$16+y^2=25,$$

$$y^2=9,$$

$$y=\pm 3.$$

Следовательно, точки: $$(-4;3)$$ и $$(-4;-3).$$

б) Если $$y=3$$, то

$$x^2+3^2=25,$$

$$x^2+9=25,$$

$$x^2=16,$$

$$x=\pm 4.$$

Следовательно, точки: $$(-4;3)$$ и $$ (4;3).$$

Теперь найдём углы треугольника $$ABC$$, где $$A(-1;\sqrt{3}),\ B(1;-\sqrt{3}),\ C\left(\frac12;\sqrt{3}\right).$$

Вычислим длины сторон:

$$AB=\sqrt{(1-(-1))^2+(-\sqrt{3}-\sqrt{3})^2}=\sqrt{2^2+(-2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=4,$$

$$AC=\sqrt{\left(\frac12-(-1)\right)^2+(\sqrt{3}-\sqrt{3})^2}=\sqrt{\left(\frac32\right)^2}=\frac32,$$

$$BC=\sqrt{\left(1-\frac12\right)^2+(-\sqrt{3}-\sqrt{3})^2}=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+( -2\sqrt{3})^2}=\sqrt{\frac14+12}=\frac{\sqrt{49}}{2}=\frac72.$$

Найдём угол $$A$$ по теореме косинусов:

$$\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}$$

$$\cos A=\frac{16+\frac94-\frac{49}{4}}{2\cdot 4\cdot \frac32}=\frac{16-10}{12}=\frac12,$$

значит, $$\angle A=60^\circ.$$

Найдём угол $$B$$:

$$\cos B=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}$$

$$\cos B=\frac{16+\frac{49}{4}-\frac94}{2\cdot 4\cdot \frac72}=\frac{16+10}{28}=\frac{13}{14}.$$

Тогда

$$\angle B\approx 21^\circ47′.$$

Третий угол:

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-60^\circ-21^\circ47’=98^\circ13′.$$