Упр.1046 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Какие из точек А (3; -4), В (1; 0), С (0; 5), D (0; 0) и Е (0; 1) лежат на окружности, заданной уравнением: а) х2 + у2 = 25; б) (х — 1)2 + (у + З)2 = 9; в) (x-1/2)2-у2=1/4 Докажите, что векторы i + j и i — j перпендикулярны, если i и j — координатные векторы

Подробный ответ

Проверим, удовлетворяют ли координаты точек уравнениям окружностей, подставляя их в левую часть.

а) $$x^2+y^2=25$$

Для точки $$A(3;-4)$$:

$$3^2+(-4)^2=9+16=25,$$

значит, точка $$A$$ лежит на окружности.

Для точки $$C(0;5)$$:

$$0^2+5^2=25,$$

значит, точка $$C$$ тоже лежит на окружности.

Точки $$B(1;0),\ D(0;0),\ E(0;1)$$ не удовлетворяют уравнению.

б) $$\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2=9$$

Для точки $$B(1;0)$$:

$$\left(1-1\right)^2+\left(0+3\right)^2=0+9=9,$$

значит, точка $$B$$ лежит на окружности.

Остальные точки этому уравнению не удовлетворяют.

в) $$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{4}$$

Для точки $$B(1;0)$$:

$$\left(1-\frac{1}{2}\right)^2+0^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4},$$

значит, точка $$B$$ лежит на окружности.

Для точки $$D(0;0)$$:

$$\left(0-\frac{1}{2}\right)^2+0^2=\left(-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4},$$

значит, точка $$D$$ тоже лежит на окружности.

Докажем, что векторы $$\vec i+\vec j$$ и $$\vec i-\vec j$$ перпендикулярны. Для этого достаточно показать, что их скалярное произведение равно нулю:

$$\left(\vec i+\vec j\right)\cdot\left(\vec i-\vec j\right)=\vec i\cdot\vec i-\vec i\cdot\vec j+\vec j\cdot\vec i-\vec j\cdot\vec j.$$

Так как $$\vec i$$ и $$\vec j$$ — координатные векторы, то $$\vec i\cdot\vec i=1,$$ $$\vec j\cdot\vec j=1,$$ $$\vec i\cdot\vec j=\vec j\cdot\vec i=0.$$ Тогда

$$\left(\vec i+\vec j\right)\cdot\left(\vec i-\vec j\right)=1-0+0-1=0.$$

Следовательно, $$\vec i+\vec j \perp \vec i-\vec j.$$