Упр.1046 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Какие из точек $$A(3;-4)$$, $$B(1;0)$$, $$C(0;5)$$, $$D(0;0)$$ и $$E(0;1)$$ лежат на окружности, заданной уравнением:
   
   а) $$x^2+y^2=25$$;
   
   б) $$(x-1)^2+(y+3)^2=9$$;
   
   в) $$(x-\frac{1}{2})^2-y^2=\frac{1}{4}$$?
2. Докажите, что векторы $$\mathbf{i}+\mathbf{j}$$ и $$\mathbf{i}-\mathbf{j}$$ перпендикулярны, если $$\mathbf{i}$$ и $$\mathbf{j}$$ — координатные векторы.

Проверим подстановкой координат точек в уравнения окружностей.

а)

Для окружности $$x^2+y^2=25$$:

$$A(3;-4):\;3^2+(-4)^2=9+16=25,$$

значит, точка $$A$$ лежит на окружности.

$$C(0;5):\;0^2+5^2=25,$$

значит, точка $$C$$ тоже лежит на окружности.

Остальные точки не подходят.

б)

Для окружности $$(x-1)^2+(y+3)^2=9$$:

$$B(1;0):\;(1-1)^2+(0+3)^2=0+9=9,$$

значит, точка $$B$$ лежит на окружности.

Остальные точки не подходят.

в)

Для окружности $$(x-\tfrac12)^2+y^2=\tfrac14$$:

$$B(1;0):\;\left(1-\tfrac12\right)^2+0^2=\left(\tfrac12\right)^2=\tfrac14,$$

значит, точка $$B$$ лежит на окружности.

$$D(0;0):\;\left(0-\tfrac12\right)^2+0^2=\left(-\tfrac12\right)^2=\tfrac14,$$

значит, точка $$D$$ тоже лежит на окружности.

Ответ: а) $$A$$ и $$C$$; б) $$B$$; в) $$B$$ и $$D$$.