Упр.1043 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником.
2. К одной и той же точке приложены две силы $$P$$ и $$Q$$, действующие под углом $$120^\circ$$ друг к другу, причём $$|P|=8$$, $$|Q|=15$$. Найдите величину равнодействующей силы $$R$$.

Пусть $$A$$ — точка приложения сил, а $$\angle PAQ=120^\circ$$, $$|P|=8$$, $$|Q|=15$$. Обозначим через $$R$$ равнодействующую этих сил.

Построим параллелограмм на векторах сил. Тогда равнодействующая $$R$$ равна диагонали этого параллелограмма. По теореме косинусов:

$$R^2=P^2+Q^2+2PQ\cos 120^\circ$$

Так как $$\cos 120^\circ=-\frac12$$, получаем

$$R^2=8^2+15^2+2\cdot 8\cdot 15\cdot\left(-\frac12\right)$$

$$R^2=64+225-120=169$$

$$R=\sqrt{169}=13$$

Ответ: $$13$$.