Упр.1042 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
2. В равностороннем треугольнике $$ABC$$ со стороной $$a$$ проведена высота $$BD$$. Вычислите скалярное произведение векторов: а) $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$$; б) $$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}$$; в) $$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}$$; г) $$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}$$.

Решение

1) Докажем, что в равнобедренной трапеции диагонали равны.

Пусть $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, $$AD \parallel BC$$, $$AB=CD$$. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы

$$A(-a;0),\quad D(a;0),\quad B(-b;h),\quad C(b;h).$$

Тогда

$$BD=\sqrt{(a+b)^2+h^2},$$

$$AC=\sqrt{(a+b)^2+h^2}.$$

Следовательно, $$BD=AC$$, то есть диагонали равнобедренной трапеции равны.

Обратное утверждение: если в трапеции диагонали равны, то трапеция равнобедренная.

Докажем это. Пусть в трапеции $$ABCD$$ основания $$AD \parallel BC$$ и $$AC=BD$$. Введём координаты:

$$A(-a;0),\quad D(a;0),\quad B(-b;h),\quad C(c;h).$$

Из условия $$AC=BD$$ получаем:

$$AC^2=BD^2,$$

$$(a+c)^2+h^2=(a-b)^2+h^2,$$

откуда

$$(a+c)^2=(a-b)^2.$$

Так как $$a>0$$, то из равенства квадратов следует $$c=-b$$. Тогда

$$AB=\sqrt{(a-b)^2+h^2},$$

$$CD=\sqrt{(a-c)^2+h^2}=\sqrt{(a+b)^2+h^2}.$$

Но при $$c=-b$$ получаем $$AB=CD$$. Значит, трапеция равнобедренная.

Итак, в трапеции диагонали равны тогда и только тогда, когда трапеция равнобедренная.

2) В равностороннем треугольнике $$ABC$$ со стороной $$a$$ проведена высота $$BD$$. Найдём скалярные произведения.

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то

$$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ,$$

а высота $$BD$$ является также медианой, значит $$BD\perp AC$$.

Используем формулу скалярного произведения:

$$\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\,|\vec v|\cos\varphi.$$

Тогда:

а) $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=a\cdot a\cdot\cos 60^\circ=a^2\cdot\frac12=\frac{a^2}{2};$$

б) $$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}=a\cdot a\cdot\cos 120^\circ=a^2\cdot\left(-\frac12\right)=-\frac{a^2}{2};$$

в) $$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=|AC|\cdot|BD|\cdot\cos 90^\circ=0;$$

г) $$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}=|AC|^2=a^2.$$

Ответ: а) $$\frac{a^2}{2}$$; б) $$-\frac{a^2}{2}$$; в) $$0$$; г) $$a^2$$.