Упр.1042 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение. В равностороннем треугольнике ABC со стороной а проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов: а) АВ x АС; б) АС x СВ; в) АС x BD; г) АСx АС.

Подробный ответ

1. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

Пусть $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, причём $$AD \parallel BC$$ и $$AB=CD$$. Проведём ось симметрии трапеции. В равнобедренной трапеции она проходит через середины оснований и является серединным перпендикуляром к ним. При отражении относительно этой оси вершины $$B$$ и $$C$$ меняются местами, а вершины $$A$$ и $$D$$ остаются на своих местах. Тогда диагональ $$AC$$ переходит в диагональ $$BD$$, значит, эти диагонали равны:

$$AC=BD.$$

Обратное утверждение: если в трапеции диагонали равны, то трапеция равнобедренная.

Докажем это координатным способом. Введём систему координат так, чтобы

$$A(-a;0),\quad D(a;0),\quad B(-b;h),\quad C(c;h).$$

Так как $$AD \parallel BC$$, точки $$B$$ и $$C$$ лежат на одной горизонтали. По условию $$AC=BD$$, значит,

$$AC^2=BD^2.$$

Вычислим:

$$ AC^2=(c+a)^2+h^2, $$
$$ BD^2=(a-b)^2+h^2. $$

Тогда

$$ (c+a)^2+h^2=(a-b)^2+h^2, $$
$$ (c+a)^2=(a-b)^2. $$

Отсюда

$$ c+a=a-b $$
или
$$ c+a=-(a-b). $$

Первый случай невозможен, так как даёт $$c=-b$$, а точки $$B$$ и $$C$$ лежат по разные стороны от оси симметрии трапеции. Следовательно,

$$ c+a=-(a-b), $$
$$ c+b=0, $$
то есть $$b=-c$$.

Теперь найдём боковые стороны:

$$ AB^2=(a-b)^2+h^2, $$
$$ CD^2=(a-c)^2+h^2. $$

Так как $$b=-c$$, то $$a-b=a+c$$ и $$a-c=a+b$$, следовательно,

$$AB=CD.$$

Значит, трапеция равнобедренная.

2. Скалярные произведения в равностороннем треугольнике.

Пусть $$ABC$$ — равносторонний треугольник, $$AB=BC=CA=a$$, а $$BD$$ — высота. В равностороннем треугольнике высота является также медианой, поэтому $$BD \perp AC$$ и $$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ$$.

Тогда:

$$ \vec{AB}\cdot\vec{AC}=|AB|\cdot|AC|\cdot\cos 60^\circ =a\cdot a\cdot \frac12=\frac{a^2}{2}. $$

$$ \vec{AC}\cdot\vec{CB}=|AC|\cdot|CB|\cdot\cos 120^\circ =a\cdot a\cdot\left(-\frac12\right)=-\frac{a^2}{2}. $$

$$ \vec{AC}\cdot\vec{BD}=|AC|\cdot|BD|\cdot\cos 90^\circ=0. $$

$$ \vec{AC}\cdot\vec{AC}=|AC|^2=a^2. $$