Упр.1041 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 см и 4 см. Найдите медиану, проведённую к меньшей из двух других сторон. Вычислите скалярное произведение векторов а и b, если | а | = 2, | b | = 3, а угол между ними равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°.

Подробный ответ

1) Найдём две стороны треугольника, к которым проведена медиана. Высота $$BH=10$$ см делит основание на отрезки $$AH=10$$ см и $$HC=4$$ см, значит можно рассмотреть прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CBH$$.

Тогда

$$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2},$$

$$BC=\sqrt{HC^2+BH^2}=\sqrt{4^2+10^2}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}.$$

Меньшая из этих сторон — $$BC$$, поэтому нужна медиана к стороне $$BC$$.

Обозначим через $$M$$ середину стороны $$BC$$. Тогда в координатной системе можно взять точки $$H(0;0)$$, $$B(0;10)$$, $$C(4;0)$$, а точку $$A(-10;0)$$. Тогда

$$M\left(\frac{0+4}{2};\frac{10+0}{2}\right)=(2;5).$$

Найдём длину медианы $$AM$$:

$$AM=\sqrt{(2-(-10))^2+(5-0)^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13.$$

2) Скалярное произведение векторов вычисляем по формуле

$$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\cdot |\vec b|\cdot \cos\varphi.$$

Так как $$|\vec a|=2$$, $$|\vec b|=3$$, то

$$\vec a\cdot \vec b=2\cdot 3\cdot \cos\varphi=6\cos\varphi.$$

а) При $$\varphi=45^\circ$$:

$$\vec a\cdot \vec b=6\cdot \cos 45^\circ=6\cdot \frac{\sqrt2}{2}=3\sqrt2.$$

б) При $$\varphi=90^\circ$$:

$$\vec a\cdot \vec b=6\cdot \cos 90^\circ=0.$$

в) При $$\varphi=135^\circ$$: