Упр.1040 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, и диагональ BD равна стороне ромба. Найдите угол между векторами: а) АВ и AD; б) АВ и DA; в) ВА и AD; г) ОС и OD; д) АВ и DA; е) АВ и CD.
Пусть $$ABCD$$ — ромб, а точка $$O$$ — точка пересечения диагоналей. По условию $$BD=BC$$. Так как в ромбе все стороны равны, то
$$BC=CD=AB=AD,$$
следовательно, $$BD=BC=CD$$. Значит, треугольник $$BCD$$ равносторонний.
Аналогично, поскольку $$BD=BA=AD,$$ треугольник $$ABD$$ тоже равносторонний.
Теперь найдём углы между векторами:
а) $$\angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=60^\circ,$$ так как треугольник $$ABD$$ равносторонний;
б) $$\angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA})=180^\circ-60^\circ=120^\circ;$$
в) $$\angle(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AD})=180^\circ-60^\circ=120^\circ;$$
г) диагонали ромба взаимно перпендикулярны, значит
$$\angle(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD})=90^\circ;$$
д) $$\angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA})=120^\circ;$$
е) векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ противоположно направлены, поэтому
$$\angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=180^\circ.$$
Ответ
а) $$60^\circ$$; б) $$120^\circ$$; в) $$120^\circ$$; г) $$90^\circ$$; д) $$120^\circ$$; е) $$180^\circ$$.
