Упр.1040 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна $$160\text{ см}$$, а основание треугольника равно $$80\text{ см}$$. Найдите две другие медианы этого треугольника.
Диагонали ромба $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$, и диагональ $$BD$$ равна стороне ромба. Найдите угол между векторами: а) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$; б) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$; в) $$\overrightarrow{BA}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$; г) $$\overrightarrow{OC}$$ и $$\overrightarrow{OD}$$; д) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$; е) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$.

Подробный ответ

Пусть $$CE$$ и $$AF$$ — две другие медианы треугольника $$ABC$$.

Так как $$BO$$ — медиана к основанию равнобедренного треугольника, то она делит основание пополам. Значит, удобно ввести координаты так:

$$B(0;160),\quad A(-40;0),\quad C(40;0).$$

Точка $$E$$ — середина стороны $$AB$$, поэтому

$$x_E=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-40+0}{2}=-20,\qquad y_E=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{0+160}{2}=80.$$

Следовательно, $$E(-20;80)$$.

Точка $$F$$ — середина стороны $$BC$$, значит

$$x_F=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{0+40}{2}=20,\qquad y_F=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{160+0}{2}=80.$$

Следовательно, $$F(20;80)$$.

Теперь найдём длины медиан:

$$CE=\sqrt{(40-(-20))^2+(0-80)^2} =\sqrt{60^2+80^2} =\sqrt{10000}=100\text{ см}.$$