Упр.1038 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.
2. На горе находится башня, высота которой равна 100 м (рис. 299). Некоторый предмет $$A$$ у подножия горы наблюдают сначала с вершины $$B$$ башни под углом $$60^\circ$$ к горизонту, а потом с её основания $$C$$ под углом $$30^\circ$$. Найдите высоту $$H$$ горы.

Пусть в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ прямой, а $$M$$ — середина гипотенузы $$AB$$.

Тогда $$M$$ равноудалена от концов гипотенузы, то есть $$AM=MB$$.

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы

$$C(0;0),\quad A(0;b),\quad B(a;0).$$

Так как $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, то её координаты:

$$x_M=\frac{0+a}{2}=\frac a2,\qquad y_M=\frac{b+0}{2}=\frac b2.$$

Значит, $$M\left(\frac a2;\frac b2\right).$$

Найдём расстояния от точки $$M$$ до вершин треугольника:

$$MA=\sqrt{\left(0-\frac a2\right)^2+\left(b-\frac b2\right)^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}} =\frac12\sqrt{a^2+b^2},$$

$$MB=\sqrt{\left(a-\frac a2\right)^2+\left(0-\frac b2\right)^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}} =\frac12\sqrt{a^2+b^2},$$

$$MC=\sqrt{\left(0-\frac a2\right)^2+\left(0-\frac b2\right)^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}} =\frac12\sqrt{a^2+b^2}.$$

Следовательно,

$$MA=MB=MC,$$

то есть середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.