Упр.1035 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его площадь, если: а) А (-3; -1), B (1; -1), С (1; -3), D (-3; -3); б) А (4; 1), B (3; 5), С (-1; 4), D (0; 0). В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый угол между этими хордами, если АВ = 13см, СЕ = 9 см, ED = 4 см и расстояние между точками В и D равно 4корень3 см.

Подробный ответ

а) Найдём длины сторон по формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{(1-(-3))^2+(-1-(-1))^2}=\sqrt{4^2}=4,$$
$$BC=\sqrt{(1-1)^2+(-3-(-1))^2}=\sqrt{2^2}=2,$$
$$CD=\sqrt{((-3)-1)^2+((-3)-(-3))^2}=\sqrt{4^2}=4,$$
$$AD=\sqrt{((-3)-(-3))^2+((-3)-(-1))^2}=\sqrt{2^2}=2.$$

Получаем $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Теперь найдём диагонали:

$$AC=\sqrt{(1-(-3))^2+((-3)-(-1))^2}=\sqrt{4^2+(-2)^2}=2\sqrt{5},$$
$$BD=\sqrt{((-3)-1)^2+((-3)-(-1))^2}=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2}=2\sqrt{5}.$$

В параллелограмме равные диагонали означают, что он является прямоугольником. Следовательно, $$ABCD$$ — прямоугольник.

Площадь прямоугольника:

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC=4\cdot 2=8.$$

б) Найдём длины сторон:

$$AB=\sqrt{(3-4)^2+(5-1)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17},$$
$$BC=\sqrt{((-1)-3)^2+(4-5)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17},$$
$$CD=\sqrt{(0-(-1))^2+(0-4)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17},$$
$$AD=\sqrt{(0-4)^2+(0-1)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}.$$

Итак, $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Найдём диагонали:

$$AC=\sqrt{((-1)-4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34},$$
$$BD=\sqrt{(0-3)^2+(0-5)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}.$$

Диагонали параллелограмма равны, значит, $$ABCD$$ — прямоугольник.

Тогда его площадь:

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC=\sqrt{17}\cdot \sqrt{17}=17.$$

В окружности. Пусть $$AE=x$$, тогда $$EB=13-x$$. По свойству пересекающихся хорд:

$$AE\cdot EB=CE\cdot ED,$$
$$x(13-x)=9\cdot 4=36.$$

Получаем:

$$x^2-13x+36=0,$$
$$x_1=4,\quad x_2=9.$$

Значит, возможны два случая:

$$EB=9 \quad \text{или} \quad EB=4.$$

1) Если $$EB=4$$, то в треугольнике $$DEB$$ стороны $$DE=4$$ и $$EB=4$$, значит, он равнобедренный. По теореме косинусов:

$$BD^2=DE^2+EB^2-2\cdot DE\cdot EB\cos \angle DEB,$$
$$\left(4\sqrt{3}\right)^2=4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cos \angle DEB,$$
$$48=32-32\cos \angle DEB,$$
$$\cos \angle DEB=-\frac{1}{2}.$$

Следовательно, $$\angle DEB=120^\circ$$.

2) Если $$EB=9$$, то по теореме косинусов в треугольнике $$DEB$$:

$$\left(4\sqrt{3}\right)^2=4^2+9^2-2\cdot 4\cdot 9\cos \angle DEB,$$
$$48=16+81-72\cos \angle DEB,$$
$$72\cos \angle DEB=49,$$
$$\cos \angle DEB=\frac{49}{72}.$$

Тогда

$$\angle DEB \approx 47^\circ 7′.$$