Упр.1034 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что четырёхугольник $$MNPQ$$ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если:
а) $$M(1; 1),\ N(6; 1),\ P(7; 4),\ Q(2; 4)$$;
б) $$M(-5; 1),\ N(-4; 4),\ P(-1; 5),\ Q(-2; 2)$$.
В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно $$10\ \text{см}$$, а угол при основании равен $$70^\circ$$. Найдите периметр трапеции.

Подробный ответ

Найдём длины диагоналей по формуле расстояния между точками.

а)

$$MQ=\sqrt{(2-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$$
$$NP=\sqrt{(7-6)^2+(4-1)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$$
$$MN=\sqrt{(6-1)^2+(1-1)^2}=\sqrt{25}=5$$
$$PQ=\sqrt{(2-7)^2+(4-4)^2}=\sqrt{25}=5$$

Так как $$MQ=NP$$ и $$MN=PQ$$, то четырёхугольник $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Теперь найдём диагонали:
$$NQ=\sqrt{(2-6)^2+(4-1)^2}=\sqrt{16+9}=5$$
$$MP=\sqrt{(7-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$$

б)

$$MQ=\sqrt{(-2+5)^2+(2-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$$
$$NP=\sqrt{(-1+4)^2+(5-4)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$$
$$MN=\sqrt{(-4+5)^2+(4-1)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$$
$$PQ=\sqrt{(-2+1)^2+(2-5)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$$

Следовательно, $$MQ=NP$$ и $$MN=PQ$$, значит, $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Диагонали:
$$NQ=\sqrt{(-2+4)^2+(2-4)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$
$$MP=\sqrt{(-1+5)^2+(5-1)^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$

Ответ: а) $$NQ=5$$, $$MP=3\sqrt{5}$$; б) $$NQ=2\sqrt{2}$$, $$MP=4\sqrt{2}$$.