Упр.1033 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что треугольник $$ABC$$ равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: а) $$A(0;1),\ B(1;-4),\ C(5;2)$$; б) $$A(-4;1),\ B(-2;4),\ C(0;1)$$.
2. Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

а) Найдём длины сторон по формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{(1-0)^2+(-4-1)^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$$

$$BC=\sqrt{(5-1)^2+(2+4)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$

$$AC=\sqrt{(5-0)^2+(2-1)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$$

Получаем $$AB=AC$$, значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.

Найдём площадь. Так как $$AB=AC$$, медиана $$AM$$ к основанию $$BC$$ является высотой.

Координаты середины отрезка $$BC$$:

$$x_M=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{1+5}{2}=3,\qquad y_M=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{-4+2}{2}=-1$$

Значит, $$M(3;-1)$$.

Тогда

$$AM=\sqrt{(3-0)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AM\cdot BC=\frac12\cdot \sqrt{13}\cdot 2\sqrt{13}=13$$

б) Найдём длины сторон:

$$AB=\sqrt{(-2+4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$

$$BC=\sqrt{(0+2)^2+(1-4)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$

$$AC=\sqrt{(0+4)^2+(1-1)^2}=\sqrt{16}=4$$

Получаем $$AB=BC$$, значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.

Так как основание равно $$AC$$, медиана $$BM$$ к основанию является высотой.

Координаты середины отрезка $$AC$$:

$$x_M=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{-4+0}{2}=-2,\qquad y_M=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{1+1}{2}=1$$

Значит, $$M(-2;1)$$.

Тогда

$$BM=\sqrt{(-2+2)^2+(1-4)^2}=\sqrt{0+9}=3$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot BM\cdot AC=\frac12\cdot 3\cdot 4=6$$

Ответ: а) $$13$$; б) $$6$$.