Упр.1029 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А (0; 1), В (1; -4), С (5; 2). Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна а, а прилежащие к этой стороне углы равны а и b.

Найдём координаты середины отрезка $$BC$$. Так как $$M$$ — середина $$BC$$, то

$$ x_M=\frac{x_B+x_C}{2}, \qquad y_M=\frac{y_B+y_C}{2}. $$

Подставим координаты точек $$B(1;-4)$$ и $$C(5;2)$$:

$$ x_M=\frac{1+5}{2}=3, \qquad y_M=\frac{-4+2}{2}=-1. $$

Значит, $$M(3;-1)$$.

Теперь найдём длину медианы $$AM$$ по формуле расстояния между точками:

$$ AM=\sqrt{(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2}. $$

Так как $$A(0;1)$$ и $$M(3;-1)$$, получаем

$$ AM=\sqrt{(3-0)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}. $$

Для треугольника со стороной $$a$$ и прилежащими к ней углами $$\alpha$$ и $$\beta$$ биссектрисы выражаются через теорему синусов.

Рассмотрим треугольник $$BCC_1$$, где $$CC_1$$ — биссектриса угла $$C$$. Тогда

$$ \angle BC_1C=180^\circ-\alpha-\frac{\beta}{2}. $$

По теореме синусов:

$$ \frac{BC}{\sin \angle BC_1C}=\frac{CC_1}{\sin \alpha}. $$

Так как $$BC=a$$, то

$$ CC_1=\frac{a\sin \alpha}{\sin\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)}. $$

Аналогично для биссектрисы $$BB_1$$ в треугольнике $$BB_1C$$:

$$ \angle BB_1C=180^\circ-\beta-\frac{\alpha}{2}, $$

и по теореме синусов

$$ BB_1=\frac{a\sin \beta}{\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)}. $$

Для биссектрисы $$AA_1$$ рассмотрим треугольник $$BAA_1$$. Из теоремы синусов получаем

$$ AA_1=\frac{AB\sin \alpha}{\sin \angle BA_1A}. $$

Сначала найдём $$AB$$ из треугольника с основанием $$BC=a$$:

$$ AB=\frac{a\sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)}. $$

Кроме того,

$$ \angle BA_1A=90^\circ+\frac{\beta-\alpha}{2}, $$

поэтому

$$ \sin \angle BA_1A=\cos\frac{\beta-\alpha}{2}. $$

Тогда

$$ AA_1=\frac{a\sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)\cos\left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right)}. $$

Ответ

$$M(3;-1), \qquad AM=\sqrt{13}.$$

Если $$BC=a$$, $$\angle B=\alpha$$, $$\angle C=\beta$$, то

$$ CC_1=\frac{a\sin \alpha}{\sin\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)}, \qquad BB_1=\frac{a\sin \beta}{\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)}, \qquad AA_1=\frac{a\sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)\cos\left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right)}. $$