Упр.1025 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите длины векторов: а) $$\vec a\{5; 9\}$$; б) $$\vec b\{-3; 4\}$$; в) $$\vec c\{-10; -10\}$$; г) $$\vec d\{10; 17\}$$; д) $$\vec e\{11; -11\}$$; е) $$\vec f\{10; 0\}$$.
- С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник $$ABC$$, если: а) $$\angle A=60^\circ$$, $$\angle B=40^\circ$$, $$c=14$$; б) $$\angle A=30^\circ$$, $$\angle C=75^\circ$$, $$b=4{,}5$$; г) $$\angle B=45^\circ$$, $$\angle C=70^\circ$$, $$a=24{,}6$$; е) $$a=6{,}3$$, $$b=6{,}3$$, $$\angle C=54^\circ$$; з) $$a=14$$, $$b=18$$, $$c=20$$; в) $$\angle A=80^\circ$$, $$a=16$$, $$b=10$$; д) $$\angle A=60^\circ$$, $$a=10$$, $$b=7$$; ж) $$b=32$$, $$c=45$$, $$\angle A=87^\circ$$; и) $$a=6$$, $$b=7{,}3$$, $$c=4{,}8$$.
а) $$\angle C=180^\circ-60^\circ-40^\circ=80^\circ.$$
По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin 60^\circ}=\frac{c}{\sin 80^\circ},\qquad \frac{b}{\sin 40^\circ}=\frac{c}{\sin 80^\circ}.$$
Тогда
$$a=14\cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 80^\circ}\approx 14\cdot \frac{0{,}8660}{0{,}9848}\approx 12{,}31,$$
$$b=14\cdot \frac{\sin 40^\circ}{\sin 80^\circ}\approx 14\cdot \frac{0{,}6428}{0{,}9848}\approx 9{,}14.$$
б) $$\angle B=180^\circ-30^\circ-75^\circ=75^\circ.$$
Так как $$\angle B=\angle C,$$ то треугольник равнобедренный, значит $$b=c=4{,}5.$$
По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin 75^\circ}=\frac{b}{\sin 30^\circ},$$
откуда
$$a=4{,}5\cdot \frac{\sin 75^\circ}{\sin 30^\circ}\approx 4{,}5\cdot \frac{0{,}9659}{0{,}5}\approx 8{,}69.$$
в) По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B},\qquad \frac{16}{\sin 80^\circ}=\frac{10}{\sin B}.$$
Тогда
$$\sin B=\frac{10\sin 80^\circ}{16}\approx \frac{10\cdot 0{,}9848}{16}\approx 0{,}6155,$$
$$\angle B\approx 37^\circ59′.$$
Следовательно,
$$\angle C=180^\circ-80^\circ-37^\circ59’\approx 62^\circ01′.$$
И ещё
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C},\qquad c=16\cdot \frac{\sin 62^\circ01′}{\sin 80^\circ}\approx 14{,}35.$$
г) $$\angle A=180^\circ-45^\circ-70^\circ=65^\circ.$$
По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin 65^\circ}=\frac{b}{\sin 45^\circ}=\frac{c}{\sin 70^\circ}.$$
Тогда
$$b=24{,}6\cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 65^\circ}\approx 24{,}6\cdot \frac{0{,}7071}{0{,}9063}\approx 19{,}19,$$
$$c=24{,}6\cdot \frac{\sin 70^\circ}{\sin 65^\circ}\approx 24{,}6\cdot \frac{0{,}9397}{0{,}9063}\approx 25{,}51.$$
д) По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B},\qquad \frac{10}{\sin 60^\circ}=\frac{7}{\sin B}.$$
Отсюда
$$\sin B=\frac{7\sin 60^\circ}{10}\approx \frac{7\cdot 0{,}8660}{10}\approx 0{,}6062,$$
$$\angle B\approx 37^\circ19′.$$
Тогда
$$\angle C=180^\circ-60^\circ-37^\circ19’\approx 82^\circ41′.$$
И
$$c=10\cdot \frac{\sin 82^\circ41′}{\sin 60^\circ}\approx 10\cdot \frac{0{,}9919}{0{,}8660}\approx 11{,}45.$$
е) Так как $$a=b,$$ то $$\angle A=\angle B=\frac{180^\circ-54^\circ}{2}=63^\circ.$$
По теореме косинусов:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C,$$
$$c^2=6{,}3^2+6{,}3^2-2\cdot 6{,}3\cdot 6{,}3\cos 54^\circ.$$
Следовательно,
$$c^2\approx 79{,}38-79{,}38\cdot 0{,}5878\approx 32{,}72,$$
$$c\approx 5{,}72.$$
ж) По теореме косинусов:
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,$$
$$a^2=32^2+45^2-2\cdot 32\cdot 45\cos 87^\circ.$$
Тогда
$$a\approx 53{,}84.$$
По теореме синусов:
$$\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin A}{a},\qquad \sin B=\frac{32\sin 87^\circ}{53{,}84}\approx 0{,}5935,$$
$$\angle B\approx 36^\circ18′.$$
Тогда
$$\angle C=180^\circ-87^\circ-36^\circ18’\approx 56^\circ42′.$$
з) По теореме косинусов:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C,$$
$$20^2=14^2+18^2-2\cdot 14\cdot 18\cos C.$$
Отсюда
$$400=196+324-504\cos C,$$
$$504\cos C=120,$$
$$\cos C\approx 0{,}2381,\qquad \angle C\approx 76^\circ13′.$$
Далее
$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,$$
$$18^2=14^2+20^2-2\cdot 14\cdot 20\cos B,$$
$$324=196+400-560\cos B,$$
$$560\cos B=272,$$
$$\cos B\approx 0{,}4857,\qquad \angle B\approx 60^\circ57′.$$
Тогда
$$\angle A=180^\circ-76^\circ13′-60^\circ57’\approx 42^\circ50′.$$
и) По теореме косинусов:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C,$$
$$4{,}8^2=6^2+7{,}3^2-2\cdot 6\cdot 7{,}3\cos C.$$
Получаем
$$\cos C\approx 0{,}7563,\qquad \angle C\approx 40^\circ52′.$$
Далее
$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,$$
$$7{,}3^2=6^2+4{,}8^2-2\cdot 6\cdot 4{,}8\cos B,$$
откуда
$$\cos B\approx 0{,}0998,\qquad \angle B\approx 84^\circ16′.$$
И наконец
$$\angle A=180^\circ-84^\circ16′-40^\circ52’\approx 54^\circ52′.$$
Ответ: а) $$\angle C=80^\circ,$$ $$a\approx 12{,}31,$$ $$b\approx 9{,}14;$$ б) $$\angle B=75^\circ,$$ $$a\approx 8{,}69,$$ $$b=c=4{,}5;$$ в) $$\angle B\approx 37^\circ59′,$$ $$\angle C\approx 62^\circ01′,$$ $$c\approx 14{,}35;$$ г) $$\angle A=65^\circ,$$ $$b\approx 19{,}19,$$ $$c\approx 25{,}51;$$ д) $$\angle B\approx 37^\circ19′,$$ $$\angle C\approx 82^\circ41′,$$ $$c\approx 11{,}45;$$ е) $$\angle A=\angle B=63^\circ,$$ $$c\approx 5{,}72;$$ ж) $$a\approx 53{,}84,$$ $$\angle B\approx 36^\circ18′,$$ $$\angle C\approx 56^\circ42′;$$ з) $$\angle A\approx 42^\circ50′,$$ $$\angle B\approx 60^\circ57′,$$ $$\angle C\approx 76^\circ13′;$$ и) $$\angle A\approx 54^\circ52′,$$ $$\angle B\approx 84^\circ16′,$$ $$\angle C\approx 40^\circ52′.$$
