Упр.1024 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны точки А (0; 1) и В (5; -3). Найдите координаты точек С и D, если известно, что точка В — середина отрезка АС, а точка D — середина отрезка ВС. Найдите площадь треугольника ABC, если: а) угол A = a, а высоты, проведённые из вершин В и С, соответственно равны hb и hc; б) угол A = a, угол B = b, а высота, проведённая из вершины В, равна h.
1) Найдём координаты точки $$C$$.
Так как точка $$B$$ — середина отрезка $$AC$$, то по формуле координат середины отрезка имеем:
$$ x_B=\frac{x_A+x_C}{2}, \qquad y_B=\frac{y_A+y_C}{2}. $$
Подставим данные $$A(0;1)$$ и $$B(5;-3)$$:
$$ 5=\frac{0+x_C}{2}, \qquad -3=\frac{1+y_C}{2}. $$
Отсюда:
$$ x_C=10, \qquad y_C=-7. $$
Значит, $$C(10;-7)$$.
2) Найдём координаты точки $$D$$.
Так как точка $$D$$ — середина отрезка $$BC$$, то
$$ x_D=\frac{x_B+x_C}{2}, \qquad y_D=\frac{y_B+y_C}{2}. $$
Подставим найденные координаты $$B(5;-3)$$ и $$C(10;-7)$$:
$$ x_D=\frac{5+10}{2}=7{,}5, \qquad y_D=\frac{-3+(-7)}{2}=-5. $$
Следовательно, $$D(7{,}5;-5)$$.
3) Площадь треугольника $$ABC$$.
а) Пусть $$\angle A=\alpha$$, а высоты, проведённые из вершин $$B$$ и $$C$$, равны соответственно $$h_b$$ и $$h_c$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники с высотами:
$$ AB=\frac{h_b}{\sin \alpha}, \qquad AC=\frac{h_c}{\sin \alpha}. $$
Тогда площадь треугольника:
$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot AC \cdot \sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot \frac{h_b}{\sin \alpha}\cdot \frac{h_c}{\sin \alpha}\cdot \sin \alpha =\frac{h_b h_c}{2\sin \alpha}. $$
б) Пусть $$\angle A=\alpha$$, $$\angle B=\beta$$, а высота, проведённая из вершины $$B$$, равна $$h$$.
Из прямоугольного треугольника получаем:
$$ AB=\frac{h}{\sin \alpha}. $$
Так как $$\angle C=180^\circ-(\alpha+\beta)$$, то
$$ BC=\frac{h}{\sin \angle C}=\frac{h}{\sin(\alpha+\beta)}. $$
Теперь найдём площадь:
$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot BC \cdot \sin \beta =\frac{1}{2}\cdot \frac{h}{\sin \alpha}\cdot \frac{h}{\sin(\alpha+\beta)}\cdot \sin \beta. $$
Следовательно,
$$ S_{ABC}=\frac{h^2\sin \beta}{2\sin \alpha \cdot \sin(\alpha+\beta)}. $$
Ответ
$$C(10;-7), \quad D(7{,}5;-5).$$
а) $$S_{ABC}=\frac{h_b h_c}{2\sin \alpha}$$;
б) $$S_{ABC}=\frac{h^2\sin \beta}{2\sin \alpha \cdot \sin(\alpha+\beta)}$$.
