Упр.1023 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то его диагонали равны:

$$AC=BD=10\text{ см}.$$

Точка $$O$$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника, значит, они делятся ею пополам:

$$AO=BO=CO=DO=5\text{ см}.$$

Угол $$\angle AOB=30^\circ$$, тогда вертикальный ему угол

$$\angle COD=30^\circ.$$

Смежные с ним углы равны

$$\angle BOC=\angle AOD=180^\circ-30^\circ=150^\circ.$$

Найдём площади четырёх треугольников:

$$S_{AOB}=\frac12\cdot AO\cdot BO\cdot \sin\angle AOB =\frac12\cdot 5\cdot 5\cdot \sin 30^\circ =\frac12\cdot 25\cdot \frac12=\frac{25}{4}\text{ см}^2,$$
$$S_{COD}=\frac12\cdot CO\cdot OD\cdot \sin\angle COD =\frac12\cdot 5\cdot 5\cdot \sin 30^\circ =\frac{25}{4}\text{ см}^2,$$
$$S_{BOC}=\frac12\cdot BO\cdot OC\cdot \sin\angle BOC =\frac12\cdot 5\cdot 5\cdot \sin 150^\circ =\frac12\cdot 25\cdot \frac12=\frac{25}{4}\text{ см}^2,$$
$$S_{AOD}=\frac12\cdot AO\cdot OD\cdot \sin\angle AOD =\frac12\cdot 5\cdot 5\cdot \sin 150^\circ =\frac{25}{4}\text{ см}^2.$$

Тогда площадь прямоугольника:

$$S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD}=4\cdot \frac{25}{4}=25\text{ см}^2.$$

Ответ: $$25\text{ см}^2$$.