Упр.102 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Отрезки $$AC$$ и $$BD$$ точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что $$\triangle ABC=\triangle CDA$$.
2. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.

Пусть точка пересечения диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ — это точка $$O$$. По условию $$AO=OC$$ и $$BO=OD$$.

Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COD$$.

У них:

• $$AO=OC$$;
• $$BO=OD$$;
• $$\angle AOB=\angle COD$$, так как это вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle AOB \cong \triangle COD$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда получаем $$AB=CD$$ и $$\angle BAO=\angle DCO$$.

Так как точки $$A, O, C$$ лежат на одной прямой, то $$\angle BAO=\angle BAC$$ и $$\angle DCO=\angle DCA$$. Значит, $$\angle BAC=\angle DCA$$.

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$:

• $$AB=CD$$;
• $$AC$$ — общая сторона;
• $$\angle BAC=\angle DCA$$.

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle CDA$$ по первому признаку равенства треугольников.

Ответ

$$\triangle ABC \cong \triangle CDA$$.