Упр.1018 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Начертите квадрат MNPQ так, чтобы вершина Р имела координаты (-3; 3), а диагонали квадрата пересекались в начале координат. Найдите координаты точек М, N и Q. Угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен а. Найдите координаты точки А, если: а) ОА = 3, a = 45°; б) ОА = 1,5, a = 90°; в) ОА = 5, a =150°; г) ОА = 1, а= 180°; д) ОА = 2, а = 30°.

Если диагонали квадрата пересекаются в начале координат, то эта точка является центром квадрата. Значит, вершины квадрата симметричны относительно начала координат.

Так как $$P(-3;3),$$ то противоположная ей вершина имеет координаты $$M(3;-3).$$

Оставшиеся две вершины получаем симметрией относительно начала координат:

$$Q(3;3), \qquad N(-3;-3).$$

Следовательно, координаты вершин квадрата:

$$M(3;-3), \quad N(-3;-3), \quad Q(3;3).$$

Для точки $$A$$, лежащей на луче $$OA,$$ используем формулы:

$$x=OA\cdot \cos \alpha, \qquad y=OA\cdot \sin \alpha.$$

а) $$OA=3,\ \alpha=45^\circ$$

$$\cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x=3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}, \qquad y=3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$

$$A\left(\frac{3\sqrt{2}}{2};\frac{3\sqrt{2}}{2}\right).$$

б) $$OA=1{,}5,\ \alpha=90^\circ$$

$$\cos 90^\circ=0,\qquad \sin 90^\circ=1$$
$$x=1{,}5\cdot 0=0,\qquad y=1{,}5\cdot 1=1{,}5$$

$$A(0;1{,}5).$$

в) $$OA=5,\ \alpha=150^\circ$$

$$\cos 150^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 150^\circ=\frac{1}{2}$$
$$x=5\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{5\sqrt{3}}{2},\qquad y=5\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{2}$$

$$A\left(-\frac{5\sqrt{3}}{2};\frac{5}{2}\right).$$

г) $$OA=1,\ \alpha=180^\circ$$

$$\cos 180^\circ=-1,\qquad \sin 180^\circ=0$$
$$x=1\cdot (-1)=-1,\qquad y=1\cdot 0=0$$

$$A(-1;0).$$

д) $$OA=2,\ \alpha=30^\circ$$

$$\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 30^\circ=\frac{1}{2}$$
$$x=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},\qquad y=2\cdot \frac{1}{2}=1$$

$$A(\sqrt{3};1).$$

Ответ

$$M(3;-3),\ N(-3;-3),\ Q(3;3).$$

а) $$A\left(\frac{3\sqrt{2}}{2};\frac{3\sqrt{2}}{2}\right);$$ б) $$A(0;1{,}5);$$ в) $$A\left(-\frac{5\sqrt{3}}{2};\frac{5}{2}\right);$$ г) $$A(-1;0);$$ д) $$A(\sqrt{3};1).$$