Упр.1014 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
2. Задание учебника 2023 года. Найдите $$\cos\alpha$$, если:
   а) $$\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
   б) $$\sin\alpha=\frac{1}{4}$$;
   в) $$\sin\alpha=0$$.

Пусть $$\vec a=(x_1;y_1)$$ и $$\vec b=(x_2;y_2)$$ — коллинеарные векторы. Тогда по свойству коллинеарных векторов существует число $$k$$ такое, что

$$\vec a=k\vec b.$$

Следовательно, для координат получаем

$$x_1=kx_2,\qquad y_1=ky_2.$$

Если $$x_2\neq 0$$ и $$y_2\neq 0$$, то

$$\frac{x_1}{x_2}=k,\qquad \frac{y_1}{y_2}=k,$$

значит,

$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}.$$

То есть координаты одного вектора пропорциональны координатам другого.

Сформулируем обратное утверждение: если координаты двух векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарны.

Докажем его. Пусть

$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=k.$$

Тогда

$$x_1=kx_2,\qquad y_1=ky_2,$$

а значит,

$$\vec a=k\vec b.$$

По определению, такие векторы коллинеарны.

Ответ

Если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны. Обратно: если координаты двух векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны.