Упр.1014 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение. Найдите cos а, если: a) sina=корень3/2; б) sina=1/4; в) sina=0.

Пусть $$\vec a=(x_1;y_1)$$ и $$\vec b=(x_2;y_2)$$ — коллинеарные векторы. Тогда по свойству коллинеарных векторов существует число $$k$$ такое, что

$$\vec a=k\vec b.$$

Следовательно,

$$x_1=kx_2,\qquad y_1=ky_2.$$

Если $$x_2\neq 0$$ и $$y_2\neq 0$$, то

$$\frac{x_1}{x_2}=k,\qquad \frac{y_1}{y_2}=k,$$

значит,

$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}.$$

Итак, координаты одного вектора пропорциональны координатам другого.

Обратное утверждение: если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого, то эти векторы коллинеарны.

Действительно, пусть

$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=k.$$

Тогда

$$x_1=kx_2,\qquad y_1=ky_2,$$

то есть

$$\vec a=k\vec b.$$

По определению, векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны.

Найдём $$\cos \alpha$$.

Используем тождество

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$$

а) Если $$\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2},$$ то

$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac34=\frac14,$$

значит,

$$\cos\alpha=\pm\frac12.$$

б) Если $$\sin\alpha=\frac14,$$ то

$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac1{16}=\frac{15}{16},$$

значит,

$$\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{15}}{4}.$$

в) Если $$\sin\alpha=0,$$ то

$$\cos^2\alpha=1-0=1,$$

значит,

$$\cos\alpha=\pm1.$$

Ответ

Если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны; и обратно, если координаты векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны.
а) $$\cos\alpha=\pm\frac12$$; б) $$\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{15}}{4}$$; в) $$\cos\alpha=\pm1$$.